浅谈函数的零点

王岳军 尤兴勇

函数的零点，其实质上反映的是函数与方程的关系，即体现的是函数与方程的思想，亦即用函数的知识解决方程的问题。在方法上主要是用数形结合思想来解决与函数零点的范围、零点的个数等有关的问题。函数的零点比较抽象，也比较难懂，所以给同学们在初学时带来了不少麻烦。

其实函数的零点从“数”的角度来说就是方程f（x）=0在函数定义域上的实根，从“形”的角度来说就是函数y=f（x）的图像在定义域上与x轴交点的横坐标。因此，要把握好两点：函数y=f（x）的零点<=>方程f（x）=O在定义域上的实根<=>函数y=f（x）的图像在定义域上与x轴交点的横坐标；方程f（x）-g（x）=0的实根㈢方程f（x）=g（x）的实根<=>函数y=f（x）与函数y=g（x）图像的交点的横坐标。

下面给出几道典型例题及解答，供大家参考。

例1 函数的零点所在的一个区问是（）。

A.（-2，-1）

B.（-1，0）

C.（O，1）

D.（1，2）

解法一：直接利用函数的零点存在性定理再结合排除法求解。应选B。

解法二：由f（x）=O，可得利用常规方法解不了这个方程。

函数的图像不好画，可利用转化思想求解。求方程的实根也就是求方程的实根。

令函数，在同一直角坐标系巾画出这两个函数的图像（图略）。

通过观察两个函数图像的交点，可知选B。

例2 函数在区间（O，1）内的零点的个数为（）。

A.O

B.1

C.2

D.3

解：本题和例l是同一类型的题目，解题的关键是确定画哪个函数图像方便求解的问题。

根据转化思想可知：求方程的实根就是求方程的实根。

在同一直角坐标系中分别画出函数和的图像（图略）。

通过观察两个函数图像的交点，可知选B。

例3 方程的实根个数为（）。

A.3

B.2

C.1

D.O

解：求方程的实根个数就是求方程的实根个数。

令。在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图像（图略）。

通过观察两个函数图像的交点，可知选B。

例4 函数的零点个数为（）。

A.1

B.2

C.3

D。4

解：此函数的定义域为（0，+∞）。此问题应在函数的定义域内加以解决。

函数的零点个数就是方程的实根个数，也就是方程的实根个数。

令函数。在同一直角坐标系中分别画出函数和的图像（图略）。

通过观察两个函数图像的交点，可知选B。

例5 比较与的大小关系，并写出其所对应的x的取值范围。

解：此题利用常规方法不容易求解。通过上述几个问题所积累的经验，可运用数形结合思想求解。

在同一直角坐标系中，分别画出函数和的图像（如图1）。

通过观察图像可知：当

评述：这类问题一般都要用数形结合思想加以解决，但问题的关键是画哪个函数图像比较贴近我们的认知，画起来比较方便快捷。这需要在平时的学习中多发现规律，找出解题的切入点。