刚体平动和刚体定轴转动中力学问题的对比研究

秦 晨，张伟仁

（1.新疆师范大学物理与电子工程学院，新疆乌鲁木齐830054；2.武警乌鲁木齐指挥学院教研部，新疆乌鲁木齐830049）

刚体平动和刚体定轴转动中力学问题的对比研究

秦 晨1，张伟仁2

（1.新疆师范大学物理与电子工程学院，新疆乌鲁木齐830054；2.武警乌鲁木齐指挥学院教研部，新疆乌鲁木齐830049）

刚体转动一直是普通物理学中的重点和难点。质点运动的相关知识学生都比较熟悉，但是刚体的转动却是首次接触。由于对质点运动的描述和对刚体转动的描述有一定的相似性，而且质点运动和刚体转动的一些定律和定理也有很大的相似程度，因此可以在已有的质点运动知识的基础上，来理解刚体转动的相关知识。

质点运动；刚体平动；刚体转动；定轴转动

物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科[1]。以经典物理为主要内容的《普通物理学》是高等学校非物理专业的理工科学生的一门重要的基础课，其中力学在该课程中占有很大的比重[2]。刚体力学是力学的重要组成部分，也一直是《普通物理学》中的重点和难点。为了很好的理解刚体的运动，我们可以将刚体的平动和转动进行对比研究，从而对刚体的运动有深入地了解和认识[3]，并将刚体运动的知识应用于非线性控制系统[4]、机械设计制造[5]、自动化控制[6-8]、多刚体系统动力学分析[9]等各类科学研究和生产实践当中[10]。

刚体是指在任何外力作用下，其形状和大小完全不变的物体，是一种理想的质点系统。刚体最基本的运动形式是平动和转动，任何复杂的刚体运动都可以分解为平动与转动的叠加[11]。当刚体作平动时，所有质元的运动状态都是相同的，所以可以选取刚体中任一质元的运动来表示整个刚体的运动，因此平动的刚体可以当成一个质点来处理[12]，刚体的平动可以用质点运动的相关知识来处理。当而刚体作转动时，刚体上每个质元的运动状态不尽相同，我们需要考虑到每个质元的运动，才能将刚体的转动完整的描述出来。为了研究刚体的转动，我们需要对刚体上所有质元求和，才能得到刚体的运动规律。关于质点的运动规律，学生从初中开始就有接触，因此比较熟悉；而关于刚体转动的知识，学生在之前的学习中接触很少，有些还是首次遇到，而且刚体转动的物理模型通常也比较抽象，因此学生在学习时一时较难接受，理解上也比较困难。为了使学生能从已有的质点运动的知识体系出发，更好地理解刚体转动的知识，可以通过对比研究，将质点平动和转动的知识作为基础和参照，来学习刚体的转动规律，使学生更好地理解刚体转动的相关运动规律。

1 刚体平动和刚体定轴转动的对比研究[12]

为了在已有的质点运动规律的基础上，很好的理解刚体定轴转动的相关物理量、相关定理和定律，下面分别就刚体定轴转动的描述、刚体定轴转动的转动定律、刚体定轴转动的动能定理、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律，通过对比研究对刚体定轴转动规律进行深入地分析和讨论。

1.1 刚体定轴转动的描述

刚体的转动有定轴转动和非定轴转动，本文以刚体的定轴转动为例来介绍刚体平动和刚体转动的对比研究。

在刚体的定轴转动中，取垂直于固定转轴的平面作为转动平面，转动平面与转轴的交点为原点，则转轴上的各点都保持不变，而轴外所有质点在同一时间间隔内转过的角度都一样，所以可以用质点做圆周运动的角位移、角速度和角加速度来定义绕定轴转动的刚体的角位移、角速度和角加速度。因此刚体做定轴转动时其角位移可以定义为Δθ=θ2-θ1，角速度定义为，角加速度定义为。刚体作定轴转动时，尽管刚体上各个质点的角位移、角速度和角加速度都相同，但是距离转轴的距离为ri的不同质点其线速度、切向加速度和法向加速度却各不相同。距离转轴距离为ri的各质点做圆周运动的线速度、切向加速度和法向加速度分别为υi=ωri，aτi=αri，ani=ω2ri，这三个式子给出了描述刚体定轴转动时，线量和角量的关系。

1.2 刚体定轴转动的转动定律

由牛顿力学可以知道，力F是使物体平动状态发生改变的原因，力矩M=r×F是使物体转动状态发生改变的原因。通过对比可以看到F和M有着类似的作用，都是使物体的运动状态发生改变的原因。

为了反映质点在力的作用下运动状态改变的难易程度，常用惯性质量（简称质量）m来表示质点惯性的大小，所以质量就是物体惯性大小的量度。而转动惯量J是刚体转动时惯性大小的量度，刚体转动惯量越大，其原有的转动状态越难改变。刚体的转动惯量由组成刚体的各质元的质量mi与其到转轴的距离ri的平方的乘积之和来决定。单个质点绕转轴转动时，其转动惯量为J=mr2，由分立质点组成的质点系绕转轴转动时，其转动惯量为，质量连续分布的刚体绕转轴转动时，其转动惯量为J=∫Mr2dm。由此可见，惯性质量m和转动惯量J在描述质点运动和刚体转动时起着类似的作用，有着相似的地位。

在质点动力学中，牛顿第二定律给出了力F和加速度a的瞬时关系。即物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同，其矢量式为F=ma。而在刚体的转动中，刚体定轴转动的转动定律描述了力矩M的瞬时作用规律。即刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩M等于刚体对转轴的转动惯量J与角加速度α的乘积，可表示为M=Jα。

从前面介绍的内容来看，从描述质点运动和刚体转动的物理量的角度来说，F和M是对应的，m和J是对应的，a和α是对应的；从牛顿第二定律和刚体定轴转动的转动定律所给出的作用规律来说，二者给出的都是改变物体运动状态的原因的瞬时作用规律，即F和M的瞬时作用规律。所以，通过对比可以看出，刚体定轴转动的转动定律在转动中的地位相当于牛顿第二定律在质点运动中的地位。质点运动和刚体转动中与刚体定轴转动的转动定律相关的知识点如表1所示。

表1 与刚体定轴转动的转动定律相关的质点运动和刚体转动对照表

1.3 刚体定轴转动的动能定理

为了理解动能定理，首先需要知道动能的概念。质点运动的动能，称为平动动能，表示为，早已被大家所熟知。而刚体绕定轴转动时的动能，即转动动能，却是一个新的物理量，转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半，即。由于对不同的转轴，刚体的转动惯量J不同，所以这里转动动能也与转轴的位置有关。由于平动动能和转动动能两者形式十分相似，式中m和J都是惯性大小的量度，线速度υ与角速度ω也是相对应的，所以通过对比研究可以看到，平动动能和转动动能在质点运动和刚体转动中具有相同的地位，通过对比可以通过已经熟知的平动动能很好地理解转动动能。

为了理解动能定理，还需要了解质点运动和刚体转动中的功和功率。在质点运动中，力的功和功率分别表示为和，而在刚体转动中，力矩的功和功率分别表示为和。通过对比可以看到，F和M、r和θ、υ和ω分别是一一对应的，所以通过对比研究，可以通过已经熟知的力的功和功率很好地理解力矩的功和功率。

有了上面的基础，下面来看质点的动能定理和刚体定轴转动的动能定理。质点的动能定理给出了外力做功对质点动能的影响，即外力对质点所做的功等于质点动能的增量，可以表示为。刚体定轴转动的动能定理给出了合外力矩所做的功对刚体转动动能的影响，即合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量，可以表示为。通过对比可以看到，在质点的动能定理和刚体定轴转动的动能定理中，两个定理的形式是完全对应的，每个物理量也都呈现出一一对应的关系，所以可以比较容易的从已经很熟悉的质点的功能定理出发，很好地理解刚体定轴转动的动能定理。在质点运动和刚体转动中与刚体定轴转动的动能定理相关的知识点如表2所示。

表2 与刚体定轴转动的动能定理相关的质点运动和刚体转动对照表

1.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

在质点的运动中，质点的动量记作p=mυ，冲量记作，冲量表示力的时间积累效果，这是学生已经很熟悉的内容。而在刚体的转动中，相对应的物理量分别是刚体转动的角动量记作L=Jω，冲量矩记作，冲量矩表示力矩的时间积累效果。通过对比可以看到，动量和角动量、冲量和冲量矩分别在质点运动和刚体转动中承担着相似的作用，处于相同的地位。

角动量是物体转动运动量的量度。一个质量为m，运动速度为υ，相对固定点O的矢径为r的质点，其角动量L定义为矢径r与质点的动量mυ的矢积，即L=r×mυ。L的方向垂直于r和mυ所组成的平面，其指向可以由右手螺旋法则确定，并且L的方向与角速度ω的方向一致。当质点以角速度ω绕圆心作圆周运动时，质点对圆心的角动量L的大小为L=mr2ω。而刚体对轴的角动量，就是刚体上各个质点对该轴的角动量之和。所以刚体对某定轴的角动量L定义为刚体对该轴的转动惯量J与角速度ω的乘积，即。L的方向沿该转动轴，并与这时转动的角速度ω的方向相同。对比质点角动量和刚体角动量的表达式可以看到，mr2和J相对应，两个L的方向也是一致的，所以通过对比研究，可以很好地理解刚体对轴的角动量这个新的知识点。

质点的角动量守恒定律指出，若质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。即若M=0，则L=L0，L=r×mυ是常矢量。刚体定轴转动的角动量守恒定律指出，若外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒。即若M=0，则L=L0，L=Jω是常量。通过对比可以看到，质点的角动量守恒定律和刚体定轴转动的角动量守恒定律在描述质点运动和刚体转动中有着相似的表述，它们所表示的物理意义也很类似，所以通过对比研究，可以在比较熟悉的质点的角动量守恒定律的基础上，很好地理解刚体定轴转动的角动量守恒定律。在质点运动和刚体转动中与刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律相关的知识点如表3所示。

表3 与刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律相关的质点运动和刚体转动对照表

2 总结

通过以上的对比研究可以看到，在质点运动和刚体转动中，对质点运动和刚体转动的描述，以及与质点运动和刚体转动相关的定理和定律有很大的相似程度。因此通过对比研究，在对刚体定轴转动的转动定律、动能定理、角动量定理和角动量守恒定律进行深入分析之后，可以在已有的质点运动规律（对应刚体平动）的基础上，很好地理解刚体定轴转动的相关规律，并将刚体平动和刚体转动的知识很好地应用在生产和实践当中。

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[11]赵近芳，王登龙.大学物理学[M].3版.北京：北京邮电大学出版社，2011：68-69.

[12]赵近芳，王登龙.大学物理简明教程[M].2版.北京：北京邮电大学出版社，2013：47.

The Comparative Study on the Mechanical Issues in Rigid Body Translation and Rigid Body Fixed-axis Rotation

QIN Chen1,ZHANG Wei-ren2
(1.College of Physics and Electronic Engineering,Xinjiang Normal University,Urumqi Xinjiang,830054;2.Department of Teaching and Research,Urumqi Armed Police Command College,Urumqi Xinjiang,830049)

Rigid body rotation is always important and difficult in the general physics.The student is familiar with the particle motion,but first contact the rigid body rotation.Based on the basis that there are some similarities between the description,the law and the theorem of particle motion and rigid body rotation,we can better understand the related knowledge of rigid body rotation in the basis of knowledge of particle motion.

particle motion;rigid body translation;rigid body rotation;fixed-axis rotation

O313.3

A

1674-0874(2015)04-0025-04

2015-03-20

国家自然科学基金项目[11364043];新疆师范大学博士科研启动基金项目[XJNUBS1516]

秦晨(1980-)，女，新疆乌鲁木齐人，博士，讲师，研究方向：原子与分子物理、化学。

〔责任编辑 高彩云〕