两类四阶非线性微分方程的解法
2015-11-08贾艳萍李录苹
贾艳萍，李录苹
（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）
两类四阶非线性微分方程的解法
贾艳萍，李录苹
（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）
应用变量变换方法,求解两类可化为一阶可积类型的四阶非线性微分方程,扩大了变量变换方法的使用范围。
变量变换;微分方程;通解
常微分方程的解法[1-5]众多，变量变换是求解常微分方程的常用技巧。它将方程的原变量用新的变量替换，使得原方程变为相对易求解的类型。本文将通过变量变换求解两类四阶非线性微分方程。
定理1四阶微分方程
通过变量替换可求出通解，其中a1，a2为常量，p，f是连续函数。
证明原方程可变形为
则（2）式转化为
此为齐次方程[5]，作变换u=vx，则（3）可转化为变量分离方程[5]
可得（4）的通解为v=v(x,c1)，
于是（3）的通解为u=xv(x,c1)。
由二阶非齐次线性方程[5]的解法求出
y''+a1y'+a2y=xv(x,c1)的通解y=y(x,c1,c2,c3)。
再由常数变易法[5]求出
z'+p(x)z=y(x,c1,c2,c3)的通解z=z(x,c1,c2,c3,c4)，
其中c1,c2,c3,c4为任意常数。
解：原方程可以改写为
上式可写为
由定理1，令z'+z=y，则（5）式转化为
于是（6）式变为
解得（7）的通解为u=c1x，
再由比较系数法可求出
y''+2y'+y=c1x的一个特解为=c1x-2c1，
则y''+2y'+y=c1x的通解为
又因为z'+z=0的通解为z=c4e-x，
从而由常数变易法可得
z'+z=c3xe-x+c2e-x+c1x-2c1的通解为
其中c1,c2,c3,c4为任意常数。
定理2四阶微分方程
通过变量替换可求出通解。其中a1，a2为常数，p(x)，q(x)，Q(x)是连续函数。
证明原方程可改写为
则（8）式转化为
则（9）式转化为
由常数变易法可求出其通解u=u(x,c1)，在由二阶非齐次线性方程的解法可求出y''+a1y'+a2y=u(x,c1)的通解为y=y(x,c1,c2,c3)，再由常数变易法求出z'+p(x)z=y(x,c1,c2,c3)的通解为z=z(x,c1,c2,c3,c4)，其中c1,c2,c3,c4为任意常数。
例2求方程
（10）式可化为
于是（11）式可转化为
由常数变易法可解得（12）的通解为，
再通过高阶方程的降阶可求得
最后由常数变易法求出
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The Solution of Two Classes of Fourth Order Nonlinear Differential Equation
JIA Yan-ping,LI Lu-ping
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)
This paper applies variable transformation method to solve the two classes of fourth order nonlinear differential equation.
variable transformation,differential equation;general solution
O175.1
A
1674-0874(2015)04-0012-02
2015-04-20
贾艳萍（1982-），女，山西朔州人，硕士，讲师，研究方向：泛函分析。
〔责任编辑 高海〕
