关于一阶矩阵的再认识与诠释

常秀芳，李映波，李 高

（1.山西大同大学煤炭工程学院，山西大同 037003；2.内蒙古自治区乌海市海勃湾区煤炭局，内蒙古乌海016000）

关于一阶矩阵的再认识与诠释

常秀芳1，李映波2，李 高1

（1.山西大同大学煤炭工程学院，山西大同 037003；2.内蒙古自治区乌海市海勃湾区煤炭局，内蒙古乌海016000）

对一阶矩阵与数或与数学式子及其二次型之间的表述，提出了新的看法，给出了新的具体的表述方式，指出行矩阵与列矩阵的乘积和向量的内积、数量积概念的不同之处，并得出两个结论。

一阶矩阵；行矩阵；列矩阵；内积；数量积；二次型

在教学实践中，翻阅了大量的高等代数和线性代数[1-3]，注意到，行矩阵与列矩阵乘积运算成一阶矩阵，或遇到一阶矩阵后，往往认其为一个数，这与矩阵概念是相悖的，并由此产生一系列的问题，为此提出了给出了新的具体的表述方式，予以商榷。

1 一阶矩阵

定义1矩阵是由m×n个数排成的m行n列的一个数表，为了表示它是一个整体，并用括号括起来，记作

当m=n时，即行数和列数相等的矩阵，称为n阶矩阵或n阶方阵。

定义2在n阶方阵中，只有一行和一列的矩阵，称为一阶矩阵。

一阶矩阵是只有一个元素的矩阵，它是阶数最小的方阵，在n阶方阵中，是没有零阶矩阵的。

在一阶矩阵A=(a)中，如果a=0，则矩阵A=(0)称为一阶零距阵；如果a≠0，则矩阵A=(a)是一阶可逆矩阵，其逆矩阵为；如果a=1，则矩阵A=(1)是一阶单位矩阵。

由于矩阵是一个数表，它不表示任何具体的数值，因此，一阶矩阵A=(a)也是一个数表。从而矩阵(a)与a两者之间有着本质的区别，前者是一个数表，后者是一个具体的数，绝对不能把矩阵(a)与数a等同起来。可是大量的教材或参考资料中，把一阶矩阵竟然说成是一个数，这是一种错误的表达，必须引起注意，予以纠正。

2 行矩阵与列矩阵的乘积

如果只有一行的矩阵称为行矩阵，也称为行向量；如果只有一列的矩阵称为列矩阵，也称为列向量。

行向量（行矩阵）和列向量（列矩阵）是特殊的矩阵，以及由向量的内积、数量积和矩阵的概念知。

结论1同维的两个行矩阵（行向量）或两个列矩阵（列向量）是不能做矩阵乘积运算的，只能作内积或向量的数量积，其结果是一个数值。

结论2同维的行矩阵（行向量）与列矩阵（列向量）是不能作内积或向量的数量积，作为只有一行或只有一列的特殊矩阵，只能做矩阵相乘运算的，其结果并不是一个数，而是一个一阶距阵，即

可是教材或参考资料中，大量把

错误地表述或写成是一个数ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj，更有甚者数与矩阵的运算不分，如把矩阵乘积定义中，一个m×s矩阵A=(aij)m×s与一个s×n矩阵B=(bij)s×n的乘积矩阵C=(cij)m×n的元素cij错误地写成等于距阵的积，又等于一个数的错误形式，例如

其正确的书写为

3 一阶单位矩阵

矩阵E1=(1)，因对任何一个一阶矩阵A，有E1A=AE1=A，所以E1=(1)是一阶单位矩阵。

一阶单位矩阵中是没有任何零元素的，它是比较特殊的一阶距阵，只有一个元素，而且元素是1，但并不表示它就是1，有的教材把XTX=E1写成XTX=1或说成是1都是错误的，须予以纠正。

4 二次型

所以在推导二次型的矩阵形式过程中，或用矩阵表示时，甚至用矩阵作正交变换等内容时，都必须对二次型加以括号才能和矩阵相等。例如，在推导过程中，则应为

则应为[f]=xTAx。

在正交变换中，则存在正交矩阵Q，作正交变换x=Qy，则应为

5 结束语

综上所述，对于一阶矩阵中的种种易混淆的内容必须引起大家的注意，歧异的或错误的内容在教材或教参中必须消除和纠正，在内容的编排上必须融有正确的、严谨的、科学的、负责的态度。

[1]同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]吴传生,王卫华.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]常秀芳，李高.伯努利方程的几种新解法[J].雁北师范学院学报,2007,23(2)：89-91.

[4]李高，常秀芳.不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)的解及其性质[J].山西大同大学学报,2011,27(3)：6-10.

[5]李高，常秀芳.二阶变系数线性微分方程及其衍生方程[J].河北北方学院学报,2011,27(5)：13-15.

[6]李高，常秀芳.关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究[J].河北北方学院学报,2010,26(6)：12-14.

[7]李高，李殊璇，常秀芳.二阶变系数线性微分方程可解的研究[J].河北北方学院学报,2013,29(2)：1-2.

[8]常秀芳，李高.Taylor幂级数直接展开的新方法[J].河北北方学院学报,2013,29(5)：1-3.

Interpretation of First Order Matrix

CHANG Xiu-fang1,LI Ying-bo2,LI Gao1
(1.School of Coal Engineering,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,0370031；2.Coal Bureau of Haibowan District,Wuhai city,Innre Mongolia׀,Wuhai 016000)

Of first-order matrix and the number or and mathematical formulas and quadratic expression between,this paper puts forward a new view,gives a new concrete way of expression,points out the row matrix and column matrix and vector inner product,the difference between the inner product and the scalar product,and two conclusions.

first-order matrix;row matrix;column matrix;inner product;scalar product;quadratic form

O175.14

A

1674-0874(2015)04-0009-03

2014-10-20

山西大同大学教学改革资金资助项目[XJY2013211]

常秀芳（1965-），女，山西朔州人，副教授，研究方向：大学数学教育。

〔责任编辑 高海〕