函数f（x）=应用举例
2015-09-30石冶郝林玲
石冶郝+林玲
尽管函数f（x）=是两个基本初等函数相除的结果，但是一些涉及数列、不等式、方程的问题，巧妙借助于函数f（x）=，可使问题化难为易，化繁为简. 我们还可以在高考题中找到函数f（x）=的身影.
例如2005年高考全国卷III第6题：若a=，b=，c=，则（ ）.
A. a C. c 又如2013年北京高考理科数学卷第18题：设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线， （Ⅰ）求l的方程； （Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方. 先用导数研究函数f（x）=的性质， 求导得f′（x）= ′=，令f′（x）=0，x=e，当x∈（0，e）时，f′（x）>0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）<0，因此f（x）=在（0，e）严格递增，在（e，+∞）严格递减，最大值为f（e）=；又f（1）=0，根据罗比塔法则[lim=][x→+∞][lim=][x→+∞][lim=0][x→+∞]，函数f（x）=的图象如图1 . 下面通过具体例子介绍函数f（x）=在数学解题中的应用. 一、求数列{}的最大项 考察函数f（x）=[x][]=[e][]，x≥1，求导得f′（x）=[e][] ′=[x][][-2]（1-lnx），令f′（x）=0，x=e；当x∈[1，e）时，f′（x）>0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）<0，因此f（x）=[x][]在[1，e）严格递增，在（e，+∞）严格递减，点x=e为函数的极大值点，极大值为f（e）=[e][]，又函数只有唯一的极大值点，极大值也是最大值，根据2 二、比较ab与ba（a>0，b>0）的大小 因为ab=[eln][ab]=[e][blna]=[e][ab][]，ba=[eln][ba]=[e][alnb]=[e][ab][]，所以比较ab与ba的大小最终归结为比较与的大小，不妨设a>b， （1） a>b≥e，<，ab （2） e≥a>b，>，ab>ba； （3） a>e>b，当0 当b>1时，与大小无法比较，因此ab 三、指数函数y=ax与幂函数y=xμ（a>0，a≠1，x>0）的交点个数 问题等价于讨论方程ax=xμ（a>0，a≠1，x>0）有几个不同的正实根. 方程两边取对数得lnax=lnxμ ，即xlna=μlnx， 整理得==[lna][]， 当[lna][]>即[a][]>[e][]时，方程无解； 当[lna][]=即[a][]=[e][]时，方程有一个解； 当>[lna][]>0，即[e][]>[a][]>1时，方程有两个不同的解； 当0>[lna][]即1>[a][]>0时，方程有一个解. 特殊情形当μ=1时，方程ax=x（a>0，a≠1，x>0）的根的结论是： 当a>[e][]时，方程无解，即曲线y=ax与直线y=x无交点； 当a=[e][]时，方程有一个解，即曲线y=ax与直线y=x有一个交点，此时曲线与直线相切； 当[e][]>a>1时，方程有两个不同的解，即曲线y=ax与直线y=x有两个交点； 当1>a>0时，方程有一个解，即曲线y=ax与直线y=x有一个交点. 仅仅凭借幂函数和指数函数的图象，很难正确从图形直观上判断出它们的交点数，直觉有时会欺骗人的眼睛. 四、感悟 纵观上述三个应用，虽然表面上风马牛不相及，但是通过构造辅助函数，最终归结为讨论函数f（x）=的性质. 尤其在高三复习中，教师要引领学生探究知识产生的源头和背景，利用函数思想解决问题，举一反三，触类旁通，跳出题海，提高解题能力和学习效率.
