函数对称问题的衍变与类化
2015-09-30江志杰
江志杰
一、函数对称性质的衍变
我们知道，若函数y = f （x）的图象关于直线x=a对称，则有f（a-x）=f（a+x）[或f （x）=f（2a-x）].倘若引入二元变量x1，x2后，该命题又可表述为：若函数y= f（x）的图象关于直线x=a对称，则x1+x2=2a?f（x1）=f （x2）. 比如常见的二次函数就具备了上述典型特征.
假设上述对称函数y=f （x）在直线x=a某一侧的图象发生了偏转或改变，此时得到新的函数y=g（x）的图象必然呈现非轴对称状态，于是就有：若x1+x2=2a，则g（x1）≠g（x2）；若g（x1）=g（x2），则x1+x2≠2a（即x1+x2>2a或x1+x2<2a成立）.
同理，若函数y= f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则有f（a-x）+f（a+x）=2b[或f（x）+f（2a-x）=2b].倘若引入二元变量x1，x2后，该命题又可表述为：若函数y= f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则x1+x2=2a?f（x1）+f（x2）=2b.比如常见的正、反比例函数、三次函数等就具备了上述典型特征.
类似地，假设上述对称函数y=f（x）在点（a，b）某一侧的图象发生了偏转或改变，此时得到新的函数y=g（x）的图象必然呈现非中心对称状态，于是就有：若x1+x2=2a，则g（x1）+g（x2）≠2b；若g（x1）+g（x2）=2b，则x1+x2≠2a（即x1+x2>2a或x1+x2<2a成立）.
中学数学经常需要研究非对称函数的图象特征或数量关系，为了形象贴切、便于参照理解，我们有时可将某些非对称函数“类似地”当作“类对称”进行研究.比如，类比对称函数图象特征不妨引入以下“类对称”函数的相关概念：
若连续函数y=f（x）仅在x=a处取得极值，则直线x =a可视作y= f（x）的“类对称轴”；
类似地，若点（a，f （a））是单调函数y= f（x）的拐点（凸曲线与凹曲线的连接点），则点（a，f （a））可视作y= f（x）的“类对称中心”.
二、“类对称”函数问题的类化
所谓问题的类化就是概括当前问题与原有知识的共同本质特征，将所要解决的问题纳入原有的同类知识结构中去，对问题加以解决.基于非对称函数存在着相应不等的数量关系，因而在非对称函数中蕴含丰富的不等式问题、变量取值范围问题. 近年来很多高考或质检的函数压轴试题经常以此为素材，综合考查学生的创新能力和数学素养.非对称函数问题若能参照对称函数问题在“类对称”的状态下进行合理对照迁移，便可使我们清晰顺畅地追溯数学命题的本源，有利于我们把握数学问题的实质和关键所在，从而找准解题的切入点.
例1 已知函数f（x）=xe-x（x∈R）.
（I）求函数f（x）的单调区间和极值；
（II）已知函数y=g（x）的图象与函数y=（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f（x）>g（x）；
（III）如果x1≠x2，且f（x1）≠f（x2），证明x1+x2>2.
【解析】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.第（I）小题由f′（x）=（1-x）e-x可得： f （x）的递增区间为（-∞，1），递减区间为（1，+∞），故其在x=1处取得极大值f（1）=；第（II）小题关键构造函数F（x）=f（x）-g（x）利用导数知识证明F（x）>0在（1，+∞）上恒成立；第（III）小题只要利用第（II）小题的不等式模型结合第（I）小题的函数单调性即可得证.
然而，对于这样一道典型的高考试题不应仅停留在就题解题上，假如本题没有第（II）小题作铺垫提示，恐怕第（III）小题很多人就无从下手了；但有了第（II）小题，则第（III）小题纯粹只剩下简单的代换转化、变形整理.对于本题解答大多学生都是似懂非懂、云里雾里地被动接受.笔者认为：掌握本题的关键应在于弄清问题产生的根源，实际上我们由第（I）小题结果以及函数值的符号、趋势，不难勾勒出函数f（x）=xe-x的图象（如图1），图中直线x=1是函数f（x）=xe-x的“类对称轴”，由于“类对称轴”两边增减幅度不同，当f（x1）=f（x2）时，可直观得到：x1+x2>2，这就是第（II）、（III）小题的问题原始背景.
下面我们结合图象寻找证明思路：（根据已知条件，不妨预设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞））
x1+x2>2 ? x1>2-x2（注意到x1，2-x2均小于1）
?f（x1）>f（2-x2）（f（x）在（-∞，1）上单调递增）
?f（x2）>f（2-x2）（已知f（x1）=f（x2））
?f（x）>f（2-x）在（1，+∞）上成立
?F（x）=f（x）-f（2-x）>0在（1，+∞）上成立
于是解决问题的切入点转为常规的构造函数运用导数知识证明不等式恒成立问题.
【点评】这种对照函数图象分析问题的方式或许更为自然合理、形象直观，尤其是对第（I）、（II）小题的设置缘由变得更加明朗清晰，从而让学生站在更高层面审视数学问题的来龙去脉，同时也使本题解法更具主动性、深刻性和广阔性！另外，用“类对称”眼光看待函数图象，让普通的非对称函数曲线不再枯燥生硬，变得更为亲切贴近、更具美感灵气！
例2 已知函数f（x）=Inx-ax2+（2-a）x.
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）设a>0，证明：当0
（III）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）<0.
【解析】本题与例1有着异曲同工之妙！先由f′（x）=-2ax+2-a=-（x>0）得到：
i）若a≤0，则f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
ii）若a>0，f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上单调递减.
结合函数定义域及函数值变化趋势作出f（x）的示意图2：
当a>0，图中直线x=是函数f（x）的“类对称轴”，由“类对称轴”两边增减幅度不同，可先直观“承认”第（II）小题中的不等关系，进而得到第（III）小题中两个零点x1，x2（0
-（x>0）中便可得f′（x0）<0.
基于上述分析，第（III）小题可由第（II）小题中的等价结论得到：f（-x1）>f（x1）=f（x2），再结合f（x）在（，+∞）上单调递减，证得x1+x2>，并以此为抓手即可得证.
例3 已知函数f（x）=Inx-ax，a为常数.
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若函数f（x）有两个零点x1，x2，试证明：x1x2>e2.
【解析】本题第（II）小题原始解答十分烦琐，让人摸不透问题的主线.其实由（I）求得：
i）若a≤0，则f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
ii）若a>0，f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上单调递减.
当f（）>0即0
【点评】从上述高考典例可以看出：借助图形直观以及“类对称”的观点，可让我们形象感知数量不等关系在“类对称”函数模型中的客观存在和解题意义，大大降低了思维的抽象性和问题的门槛，值得一提的是这种“类对称”函数问题在近年高考函数压轴题型中崭露头角，方兴未艾，应引起我们足够的重视和关注！
例4 已知函数f（x）=Inx+x2-2x+.
（I）若f′（x1）=f′（x2），求x1+x2的取值范围；
（II）若x1+x2=2，试判断f（x1）+f（x2）的符号；
（III）若f（x1）+f（x2）=0，求x1+x2的取值范围.
【解析】由f′（x）=+x-2=≥0，得f（x）函数在（0，+∞）定义域上单调递增，且注意到f′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，于是函数f（x）的图象在（0，1）上呈上凸，在（1，+∞）上呈下凸，点P（1，0）是拐点（如图4）.类似的，点P（1，0）是函数f（x）的“类对称中心”，由于点P（1，0）左右两边增速不同，可凭图形直观得到：
若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）≤0（当且仅当x1=x2时取“=”）；
若f（x1）+f（x2）=0，则x1+x2≥2（当且仅当x1=x2时取“=”）.
据此，可猜想第（III）小题中x1+x2的取值范围为[2，+∞）.理由可类比例1分析如下：
（根据已知条件，不妨预设x1∈（0，1]，x2∈[1，+∞）
x1+x2≥2 ?x2≥2-x1（注意到x2，2-x1均不小于1）
?f（x2）≥f（2-x1）（f（x）在[1，+∞）上单调递增）
?-f（x1）≥f（2-x1）（已知f（x1）+f（x2）=0）
?-f（x）≥f（2-x）在（0，1]上成立
?F（x）=f（x）+f（2-x）≤0在（0，1]上成立
利用导数知识可求得F（x）max=F（1）=0，从而上述猜想得证.
【点评】笔者主张借助函数图象以直观感知、形象对照；在获得相关猜想的基础上，从问题目标入手，不断地向已知条件求索转化，逐步形成解题思路，最后才给出严格的推理论证.这样做可以使“类对称”函数的研究过程通俗化、形象化，又可以为理解非对称函数的抽象性质提供有效的支撑，并逐步形成处理“类对称”函数问题的通性通法！
三、“类对称”函数问题的启示
1.函数图象是数学命题的源泉、探究的载体和解题的助手.很多函数综合问题的产生往往来自于对函数图象特征的探究，比如常见不等式成立问题是源于函数曲线间的位置关系.上述一系列“类对称”函数的不等数量关系都可以在其图象上得到直观体现.因此，加强函数作图能力的培养是提升分析、解决函数问题的重要基础，数学老师在日常函数教学中务必做好示范，潜移默化，带动学生画准图、用好图，提高图形鉴赏能力与数形结合能力.
2.寻找新、旧数学问题之间的枢纽或联系点，将旧问题的知识方法、技能合理地迁移到新的问题情境中去，从而实现新问题的类化.如已学的对称函数性质特征可以为研究非对称函数提供参照，即便运用“类对称”角度分析非对称函数问题后，但真正解题时仍回归常规的通性通法.数学老师应培养学生主动运用已有的知识储备去开拓探索崭新的数学空间.
3.充分挖掘数学问题中各个子问题之间的内在联系，善于捕捉问题中蕴藏的有效信息，弄清各个子问题之间的设置目的.上述每一个“类对称”函数问题的设置并非“空穴来风”，均能做到层层递进，前置问题能巧妙地为后续问题的解决提供合理的台阶.数学老师应鼓励学生做到循序渐进、步步为营，增强解题信心.
4.树立问题目标转化意识，锻炼逆向思维能力.前述分析数学问题往往从问题目标入手，不断地向已知条件求索转化，逐步形成解题思路.这说明数学思维教学中，观察、分析、比较、类比、归纳、综合、抽象、概括等都是培养学生创造性思维的重要环节，正是参与了数学问题的分析解决过程，学生才能建构自己的认知结构及相应的数学思考和行为习惯.
5.留心数学语言的表述方式和表达实质.高中数学语言丰富多样，有时简单明了、形象直观，有时虽言简意赅，却意境幽深、抽象费解.比如前面对称函数的性质不同表述和例1、例2中第（II）小题的设问形式都是“换汤不换药”，可见数学教学也是数学语言的教学，教师应帮助学生认读感知有关的数学符号、图形语言等，逐一理解每个数学术语，要求学生用自己的语言来理解数学定义或理清数学问题实质.
6.追溯数学试题的本源，杜绝就题解题.数学问题的产生往往来源于已有结论或原始命题的否命题、逆命题、逆否命题等形式，上述一系列非对称函数的数量不等关系，实际上衍生于对称函数性质结论的否定、逆变.因此数学问题的教育价值不能仅停留在学生被动的接受问题，更应为学生营造发现问题、提出问题、分析问题、探索问题的数学空间.培养学生如何用数学的眼光、数学的方法去透视事物本质，用数学思维策略去认识和探索客观世界.
