第7讲 “统计与概率”复习精讲

魏祥勤

7.1

统计

核心知识梳理

本节知识块主要有收集、整理、描述和分析数据；用扇形图、条形图及频数分布表、频数分布直方图和频数分布折线图表示数据，计算一组数据的平均数和方差，用样本的平均数、方差估计总体的平均数和方差，根据统计结果作出合理的判断和预测.

重点难点考点易错点解析

复习重点：总体、个体、样本的概念，计算平均数，选择合适的统计量表示数据的集中程度，列频数分布表，画频数分布直方图和频数分布折线图，解决简单的实际问题，用样本的某些特征估计总体的相应特征.

复习难点：计算一组数据的加权平均数，计算样本的方差，运用方差估计几组数据的离散程度，用样本估计总体的思想方法的应用.

高频考点：对于调查方式，通常是考查抽样调查与普查：对于数据分析，通常是考查一组数据的平均数、众数与中位数，计算一组数据的方差，运用方差对几组数据的稳定性作出判断，对于统计图表的分析，通常是扇形图、条形图或频数分布图表综合，对数据进行分析、整理与描述，结合样本信息对总体进行估计.

易混易错点：扇形统计图中角度与百分比的转换出错；总体、个体与样本描述不当；平均数、众数、中位数的单位遗漏；对于两组数据的方差的比较，辨析数据稳定性出错.

复习目标：了解总体、个体与样本，以及频数分布的意义和作用，掌握用扇形图、直方图、折线图表示数据，列频数分布表，画频数分布直方图和频数分布折线图，解决简单的实际问题，选择合适的统计量表示数据的集中程度，计算极差与方差，用样本的平均数、方差估计总体的平均数与方差，根据统计结果作出合理的判断和颅测：体会抽样调查的必要性，用样本估计总体的思想及统计对决策的作用.

规律方法总结

1.几种统计图的特点

条形统计图能清楚地表示每部分的具体数据，是从频数、频率上分析数据；折线统计图能清楚地反映数据的变化情况，主要是数据变化趋势上比较分析数据；扇形统计图能清楚地表示各部分在总体中所占的百分比主要从频率或百分比上作比较分析.

2.画频数分布直方图的一般步骤

（I）计算最大值与最小值的差（极差）；（2）确定组距和组数；（3）确定分点；（4）列频数分布表；（5）画出频数分布直方图.

3.普查和抽样调查的选择判断

（1）两者的识别关键是弄清“调查范围”，若是对所有考察对象做的全面调查，就是普查；若是对部分考察对象做的调查，就是抽样调查；（2）普查具有调查结果精确的优点，但是当我们考察的对象多得数不胜数时，或者考察会对考察对象带来损伤破坏的时候，或者考察所需时间、人力、物力有限时，普查就受到了局限，抽样调查就具有了无可比拟的优越性.

4.计算时注意：（1）当数据是偶数个时，中位数有可能不是原数据中的某个数字.（2）众数的个数有时不唯一.

重要考点题型例析

一、普查与抽样调查

例1 （2014.内江）下列调查中：①调查本班同学的视力；②调查一批节能灯管的使用寿命；③为保证“神舟9号”的成功发射，对其零部件进行检查；④对乘坐某班次客车的乘客进行安检，其中适合采用抽样调查的是（）.

A.①

B.②

C.③

D.④

解析：①适合普查，故①不适合抽样调查；②调查具有破坏性，故适合抽样调查，故②符合题意；③调查要求准确性，故③不适合抽样调查；④安检适合普查，故④不适合抽样调查.故选B.

反思：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考察的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查：对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

二、总体、个体、样本和样本容量

例2 （2014.巴中）今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2 000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，有下列说法：①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③2 000名考生是总体的一个样本；④样本容量是2 000.其中说法正确的有（）.

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

解析：8这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生的数学中考成绩是个体；2 000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，样本容量是2 000.故正确的是①④.故选C.

反思：本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考察的对象.总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.总体、个体与样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.

三、平均数、众数、中位数的应用

例3 （2014.齐齐哈尔）现测得齐齐哈尔市扎龙自然保护区六月某五天的最高气温分别为27、30、27、32.34（单位：℃），这组数据的众数和中位数分别是（）.

A.34、27

B.27、30

C.27、34

D.30、27

解析：27出现了2次，出现的次数最多，则众数是27；把这组数据从小到大排列为27，27，30，32，34，最中间的数是30，则中位数是30.故选B.

反思：此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫作这组数据的中位数.注意根据数据特征，众数有时个数不唯一，众数是数据中的某个数或是某几个数，而中位数只有一个，根据数字特征，中位数不一定是数据中的数字.平均数唯一，不一定与数据中的数字相同.在这一纰数据中l是出现次数最多的，故众数是1；将这组数据从小到大排列为-2，1，1，2，4，6，处于中间位置的两个数是1，2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数足（1+2）÷2=1.5；极差为6-（-2）=8.故选D.

反思：此题考查平均数、众数、中位数、极差的意义.平均数足指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数：一组数据lf1…现次数最多的数据叫作众数；中位数足将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中问的那个数（或最中问两个数的平均数）；极差是一组数据中最大数据与最小数据的差.

例6 （2014.三明）甲、乙两支仪仗队的队员人数相同，平均身高相同，身高的方差分别为（），则甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是____（填“甲”或“乙”）.

解析：由（），故甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是甲.

反思：本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的机量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，一般地，对于已知两组数据的方差，确定某，组数据更稳定的问题，结合方差意义，直接进行判断即可.

五、根据平均数与方差进行合理的判断

例7 （2014.东营）市运会举行射击比赛，某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10发成绩的平均数（环）及方差如下表，清你根据表l中数据选一人参加比赛，最合适的人选是

.

解析：因甲、乙、丙、丁四个人中甲和丙的平均数最大且相等，四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，故综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定.故最合适的人选是丙.

反思：本题考查根据平均数和方差的意义进行合理的判断，一般地，在平均数相等或相差很小的情况下，选择稳定性较好（方差较小）的数组，另一方面在方差相等或相差很小的情况下，选择平均数较好的数组.对于平均数与方差综合的辨析问题，应当从平均数与方差两个角度综合思考，选择平均成绩较好且稳定性也较好的数组.

六、根据统计图、表的信息确定某些数据

例8 （2014.扬州）如图1，某校根据学生上学方式的一次抽样调查结果，绘制出一个未完成的扇形统计图，若该校共有学生700人，则据此估计步行的有

人.

反思：本题考查了扇形统计图及用样本估计总体的某些特征等知识，解题的关键是从统计图中得出步行上学学生所占的百分比，运用总体数据乘以样本中这部分占样本容量的百分比即可求解.

例9 （2014.柳州）一位射击运动员在10次射击训练中，命中靶的环数如图2.请你根据表2，完成下列问题：

（1）补充完成下面成绩表单（表2）的填写.

（2）求该运动员这10次射击训练的平均成绩.

解析：根据折线统计图中提供的信息，补全统计表：运用平均数计算公式，求出该运动员射击总环数除以10即可.

（1）由折线统计图得出第一次射击环数为8，第二次射击环数为9，第三次射击环数为7.

（2）运动员这10次射击训练的平均成绩：（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5（环）.

反思：本题主要考查了统计表、折线统计图和平均数的知识，解题的关键是能从折线统计图中正确找出数据表格中缺少的数据，运用平均数计算公式求值，易错点是不能正确理解折线统计图中关键点的意义.折线图与条形图相同的性质是都能够准确标明某一组的数据，因此折线图中折线上点的纵坐标，即对应着条形图上的某一组的频数.

中考命题预测

1.以下问题，不适合用全面调查的是（）.

A.旅客上飞机前的安检

B.学校招聘教师，对应聘人员的面试

C.了解全校学生的课外读书时间

D.了解一批灯泡的使用寿命

2.某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，列表如表3.

则这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（）.

A.6，7

B.7，7

C.7，6

D.6，6

3.在一个有15万人的小镇，随机调查了3 000人，其中有300人看中央电视台的早间新闻，据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（）.

A.2.5万人 B.2万人 C.1.5万人 D.1万人

4.甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表4.如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（）.

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

5.在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图3，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（）.

A.18，18，1

B.18，17.5，3

C.18，18，3

D.18，17.5，1

6.某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结果如表5所示.

则这50名学生一周的平均课外阅读时间是______小时.

7.-组数据按从小到大的顺序排列为l，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，则这组数据的方差是______________________.

8.某中学对全校1 200名学生进行“校同安全知识”的教育活动，从l 200名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为A、B、C、D四个等级，绘制了图4、图5两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次抽查的学生共有多少人7

（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整.

（3）求扇形统计图中“A”所在扇形圆心角的度数.

（4）估计全校“D”等级的学生有多少人.

7.2. 概率

核心知识梳理

本节知识块主要有概率的意义；用列举法（包括列表法、树形图法）计算简单事件发生的概率；大量重复试验中，随机事件发生的频率可以作为事件发生概率的估计值；运用概率解决一些实际问题.

重点难点考点易错点解析

复习重点：明确用列举法求概率的适用条件、原理和步骤；熟悉运用列表法和树形图求概率并能简单应用，

复习难点：从各种情境中抽象出事物的本质特征，建立数学模型，形成思想方法.

高频考点：确定事件与随机事件的辨析；概率的计算；统计与概率综合问题，

易混易错点：辨析事件发生的可能性大小时忽视可能事件与确定事件的区别，概率计算中不能用树形图或列表法分析事件所有等可能的结果，忽视两次抽取卡片、摸取小球问题中第一次操作后是否放回之间的区别.

复习目标：熟练掌握用列举法（包括列表法、树形图法）计算简单随机事件发生的概率.

规律方法总结

1.事件的区分

事件分不可能事件、可能事件与必然事件，发生的机会：不可能事件发生的机会为0，可能事件发生的机会大于0且小于1，必然事件发生的机会为1.

2.可能事件的定性描述

“不太可能”发生是指发生的可能性很小，但不是0；“很有可能”发生是指发生的机会很大，但不是l00%.

3.游戏的“公平”与“不公平”

“公平”的游戏是指事件发生的机会是相等的，“不公平”的游戏是指事件发生的机会是不相等的.

4.事件发生的规律性

在每次试验中事件发生与否具有不稳定性，但随着试验次数的增加，事件发生的频率将逐渐趋于稳定，反映在折线图上为“随着试验次数增加，折线将稳定在某一数值的左右平稳波动”.

5.频率与机会的关系

频率与机会在试验中可以非常接近，但不一定相等，在卡H同的条件下，可以通过大量试验得出的频率值来估计机会的大小.

6.模拟试验的要求

不管是实物模拟或者是计算机模拟，都必须保证试验是在相同条件下进行，否则会影响试验结果.

7.画树形图的方法及树形图、列表法的选择

在用树形图表示等可能事件时，对于相同的物体或事物要进行编号，通常是当一次试验中涉及三个或更多因素时，用树形图法，而试验的因素不超过两个时，用列表法比较合适.

8.概率的意义

概率表示一个事件发生的可能性大小，也就是大量重复试验中得到的频率值，或者说是事件发生的机会，必然事件的概率是l，即P（必然事件）=1，不可能事件的概率是0，即P（不可能事件）=0.随机事件的概率介于0与1之间.若A是随机事件，则O

9.概率的计算

简单概率的计算，就是要求用分数来表示简单事件发生的可能性大小，从概率的意义来看，要求某一事件发生的概率，必须且只需弄清两个数字：操作过程中所有等可能发生的结果数量，及该事件发生的结果数量，按照公式求出概率值，P（所关注的事件）=所关注事件的结果数量；对于复杂事件发生的概率，可所有等可能的结果以借助“树形图”或“列表法”进行计算.

重要考点题型例析

三、事件的判断

例1 （2014.聊城）下列说法中不正确的是（）.

A.抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件

B.把4个球放人三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件

C.任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件

D.一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）.如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6

解析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的慨念以及概率的求法即可作出判断，选项C：中任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是不确定事件，故此说法错误.故选C.

反思：考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及概率的求法.必然事件是指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

二、用概率公式求概率

例2（2014.湖州）已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和n个黄球，这些球除颜色外其余郜棚同.若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为

，则α等于（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：8首先根据题意，运用概率计算公式构造含有字母α的方程，通过解方程即可确定α的值.根据题意得（），解得α=l，经检验，α=l是原分式方程的解故选A

反思：此题考查了概率公式的应用，运用概率计算公式建立方程模型，通过解方程即可确定待求字母α的值.根据题目信息得出分式方程，因此求解后应当对字母α的值进行检验.

例3 （2014.厦门）一个圆形转盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，飞镖落在转盘上，则落在黄色区域的概率是

.

解析：根据概率公式，求出黄色区域的面积与总面积的比即可解答.圆形转盘平均分成红、黄、蓝、白 4个

反思：本题考查了几何概率的运用，用到的知识点是概率计算公式，对于与面积有关的概率计算问题，在解答时可以运用面积法，得出所求事件的概率为相应的面积与总面积之比.

三、用列表法或树形图法求概率

例4 （2014.南宁）第45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在南宁隆重举行，届时某校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学（2男1女）中任选2名前往采访，那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是______.

解析：列表得出所有等可能的情况数，找出选出的2名同学恰好是一男一女的情况数，即可求出概率，记两个男同学为男1、男2，列表如表1.

反思：此题考查了列表法与树形图法，注意列表或画树形图时，不可忽视所选取的应当是不同的两个人.即表格中左上、右下方向上的对角线上情况不存在，画树形图时，第二次选取时，每一种情况下只有不同的两种情况，因此总情况个数是3x2=6.

例5 （2014.玉林、防城港）一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）.

解析：首先根据题意画出树形图，然后由树形图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案.

记两个白球为白1、白2，画树形图如图1.件A，事件4有2种情况，故（）.故答案为C.

反思：本题考查的是用列表法或画树形图法求概率，列表法或画树形图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树形图法适合两步或两步以上完成的事件，注意题目中的条件“摸出一个球不放回，再摸出一个球”，因此摸球所有等可能的结果的个数是4x3=12，与摸出一球记下颜色后放回情况不同，另外题目中有两个白球，为了准确表示前后两次摸球时摸出的是哪一个白球，需要用数字1、2对白球进行标注，当红球与绿球不是1个时，也按照此法标注.

四、概率与方程、函数、几何图形有关计算的综合问题

例6（2014.本溪）已知关于x的一元二次方程X2+bx+c=0，从-1，2，3三个数中任取一个数，作为方程中6的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中。的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是______ .

解析：先利用树形图展示所有6种等可能的结果，再根据判别式的意义得到当b=2，c=-l；b=3，c=-l；b=3，c=2时，该一元二次方程有实数根，然后根据概率公式计算.画树形图如图2.

五、统计与概率的综合问题

例8（2014.十堰）据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目.某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图如图4、图5.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有____名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为____；请补全条形统计图.

（2）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数.

（3）“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平.若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率.

反思：此题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法与树状图法求概率.弄清题意，从不同的统计图中得到必要的信息，及明白游戏规则是解本题的关键，注意条形统计图与扇形统计图中的信息转换，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，注意扇形统计图中每一部分占样本的百分比与扇形统计图中扇形圆心角之间的关系转换，圆心角的大小等于某部分占样本的百分比与360。的乘积.结合扇形统计图、条形统计图中的已知数据，运用部分占整体的百分比及这部分的频数，确定整体数量，即样本容量.另外注意样本的某些特征对总体的对应特征进行预测的思想方法的灵活运用.概率的汁算注意选择适当的方法表示所有等可能的情况，运川概率公式求解.

5.在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是（），那么袋子中共有球________个.

6.抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双（除颜色外其余都相同），在看不见的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是 ________.

7.天水市某校从三名男生和两名女生中选出两名同学作为“伏羲文化节”的志愿者，则选出一男一女的概率为________.

8.在四边形ABCD中，（1）AB∥CD，（2）AD∥BC，（3）A B=CD，（4）AD=BC，在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是________.

9.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字-3、-1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀.

（1）从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率.

（2）从中任取一球，将球上的数字记为α，求关于x的一元二次方程ax2-2ax+a+3=0有实数根的概率.

（3）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y.试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能出现的结果，并求点（x，y）落在第二象限内的概率.