第9讲 “动态几何问题”复习精讲

薛莺 陈锋

专题精讲

几何动态问题是以几何知识和图形为背景，渗透运动变化的一类几何问题，它集质点的运动、线段的移动、图形的变化、探究存在性、开放性于一体，集几何、代数知识于一体，是数与形的巧妙结合.此类问题常常情景新颖、解法灵活、难度大、思考性和挑战性强，能更好地考查同学们的综合能力，近年来备受各地中考命题者的青睐.

解决几何动态问题需要建立发展的动态观和特殊的静态观，建立函数模型或方程模型，用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程.抓住图形位置、数量关系的“变”与“不变”的特征，一方面要注意将运动过程中的各个时刻的图形分类画图，由“静”变“动”、由“动”变“静”、“动”“静”转换：另一方面还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置（静态）的等量关系和变量关系，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中保留或具有某种不变关系或特殊关系以及特定的限制条件.

重点题型例析

一、在静态图形中运用动态思雒，寻找信息源

例1 如图1，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P、Q同时从4、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点JD运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时问为￡（s），解答下列问题：

反思：运用动态思维从问题的静态信息中找到切入点，学会“静中观动”，“静中思动”，根据图形在运动变化的过程中的特点，适时地引人参数，则点、线、面的运动变化可通过参数的变化表现出来，从而使问题得以解决，

二、在动态几何问题中捕捉静态瞬间，提炼特殊点

例2 （2013.武汉）如图2，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足A E=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是

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解析：做动态几何题要养成的基本习惯——首先区分“动”与“不动”.正方形ABCD及对角线BD不动.E、F、G、H四点都动，但AE=DF的关系不变.再看是否有隐含的“不变”，仔细观察图形特点，凭直观不难猜想到似乎有AH上BH，暂且以此为目标进行推理，易证△ABE≌△DCF.△ABC≌△CBC.故∠BAH+∠ABH=∠BCG+∥DCC=∠ BCD=900.则∠A HB=900，猜想正确，进而点H运动在以AB为直径的半圆O上，如图3，由直观可知连接OD交半圆于H，，DH1=、/丁-1即为所求的最小值.

反思：由于“动态”的存在，在明确了动态全程的基础上，根据运动特点和规律，通过观察，比较分析图形，找出图形特殊的位置关系，画出特殊的位置下的图形后，就将动态的问题转化成了静态的图形问题，这样就可以更直观地进行研究了.解决此类问题关键就是要善于在动态问题中，捕捉运动中的“静态”瞬间，提炼特殊位置的“静态”的不变量，从而达到解题的目的.

三、“以动制动”建立函数关系式，确定分界点

例3 如图4，在平面直角坐标系中，四边形OA BC是矩形，点B的坐标为（4，3）.平行于对角线AC的直线m从原点D出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OA BC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）.

（1）点A的坐标是____ ，点C的坐标是____.

（2）当t=____秒或____秒时，MN=1Ac.

（3）设△OMN的面积为Js，求S与t的函数关系式.

（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值：若没有，要说明理由.

解析：本题应抓住直线在平移过程中保持的位置关系和数量关系.运用动态的观点，将各个时刻的图形分别画出来，建立函数关系，再设法分别求解.

（1）应依次填（4，0），（0，3）.

（2）应依次填2，6.

（3）运用动态的观点，将各个时刻的图形分别画出来.

反思：“以动制动”就是根据运动图形的变化规律建立不同的函数关系，通过研究函数，用联系发展的观点来研究变动元素之间的关系.分类画图的方法在解决此类动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，各个击破.提炼出不同图形下的函数关系，迅速把握问题实质，从而达到解题的目的.

中考命题预测.

1.如图6，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2 cm的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式为____.

2.如图7，已知OO的半径为6 cm，射线PM经过点O，OP=IO cm，射线PN与OO相切于点Q.A，B两