第5讲 “图形的变化”复习精讲

2015-09-10康松

中学生数理化·中考版 2015年4期

关键词：主视图锐角三角三视图

康松

5.1 图形的对称

核心知识梳理

图形的对称主要内容包括轴对称与中心对称的有关概念、性质与应用，垂直平分线、角平分线等基本图形的概念、性质与判定，作对称图形及图案设计，对称点的坐标的关系等.

重点难点考点易错点解析

中考中对图形对称的考查，既有以选择、填空题形式出现的难度较小的基础题，也有依托于三角形、四边形、函数图象、圆等内容命制的中、高难度的综合题，还有一些题目要求在网格中画I对称图形，开放的图案设计题和图形的折叠与拼图问题也是中考中的热点题型.主要考查图形对称的性质、相关的图案设计、与图形的对称相关的计算和逻辑推理证明等，考查对称画图和棚关的推理计算以解答题为主，图形对称的性质是重点，如识别生活中的图案或几何图案是否具有对称特征、对称的应用、利用对称设计图案、用坐标表示对称等都是围绕这一性质进行的.在作对称图形时，要注意对称轴及其对称点，要正确确定关键点.对称图形与两个图形成对称这两个概念间的区别是一个难点：对称图形指的是一个具有特殊形状的图形，而两个图形成对称指的是两个图形之问的位置关系，它们之间可以互相转化.从运动的角度来看，成对称的两个图形的任何一个可以看作由另一个图形经过对称得到，一个对称图形也可以看作以它的一部分为基础经过对称拓展而成.

规律方法总结

图形的对称是全等变换，全等的图形不一定是对称的，但对称的两个图形一定是全等的.要深入理解图形的对称的概念与性质，分析图形变换时的不变量，加强与其他数学知识的联系，探讨解决图形对称问题的方法和规律.提高探究能力.

重要考点题型例析

一、设计图案

例1 （2014.荆门）如图l，在4x4的正方形网格噜-，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分足一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）.若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠.且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（）.

A.2种

B.3种

C.4种

D.5种

解析：固作出如图2所示的四个格点正方形，可使组成的图形是轴对称图形又是中心对称图形，即这个格点正方形的作法共有4种.故选C.

反思：此题主要考查了利用轴对称以及中心对称没计图案，正确把握相关定义足解题关键，利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可，注意网格不是所要求的图形.

二、中心对称图形

例2 （2014.聊城）如图3，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180。，得到△A1B1C1，则点A1，B1，C1的坐标分别为（）.

A. A1（ -4 ， -6），B1（ -3 ，-3），C1（ -5 ，-1 ）

B. A1（-6，-4），B1（-3 ，-3）， C1 （ -5 ，-1 ）

C. A1（-4 ， -6），B1（-3 ，-3 ），C1（-l ，-5 ）

D. A 1（-6，-4），B1（-3 ，-3）， C1（-l ，-5 ）

解析：将△ABC绕点P旋转180。，得到其中心对称图形△A1BlC1，根据网格结构找出点A，B，C关于点P的对称点A1，B1，C1的位置，再根据平面直角坐标系写出坐标即可，△A1B1C1如图4所示，A1（-4，-6），B1（-3，-3），C1（-5，-1）.故选A.

反思：本题考查了中心对称图形，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

轴对称最短路线问题

例3 （2014.资阳）如图5，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为_____.

解析：连接BD，DE，如图6.由四边形ABCD足正方形，可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值.因DE=、（）=5，故△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6.

反思：本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键.连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论.

四，轴对称的性质

例4（2014.新疆）如图7，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90。、E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点.A，B恰好落在CD边的点F处.若AD=3，BC=5，则EF的值是（）.

A. ＼/Ts

B. 2＼TB

c.＼/l7

D. 2 ＼[17

解析：先根据折叠的性质得EA =EF，BE=EF，DF=4 D=3.CF=CB=5，则AB=2EF，DC=8，再作DH⊥BC于H，如图8，由于AD∥BC，∠B=90。，则可判断四边形ABHD为矩形，所以DH=AB=2EF，HC=BC-BH=BC-AD=2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理计算出DH =2、/15所以EF=＼/15.故选A.

反思：本题考查了折叠的性质，也考查了勾股定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，

中考命题预测

1.正方形的对称轴的条数为（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.

3.△ABO与△A1B10在平面直角坐标系中的位置如图9所示，它们关于点0成中心对称，其中点A（4，2），则点A，的坐标是（）.

A.（4，-2）

B.（-4，-2）

C.（-2，-3）

D.（-2，-4）

4.如图10所示，把△ABC经过一定的变换得到△A'B'C’，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A'B'C'中的对应点P'的坐标为（

）.

A.（-x，y-2）

B.（-x，y+2）

C.（-x+2，-y）

D.（-x+2，y+2）

5.如图1 1，锐角三角形ABC中，直线PL为BC的垂直平分线，直线BM为∠ABC的平分线，PL与BM相交于P点，若∠A=600，∠ACP=240，则∠ABP的度数是（）.

A.240

B.300

C.320

D.360

6.在棋盘中建立如图12所示的直角坐标系，三颗棋子A，0，B的位置如图12，它们的坐标分别是（-1，1），（0，O），（1，0）.

（1）如图13，添加棋子C，使四颗棋子A，0，B，C成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴.

（2）若在其他格点位置添加一颗棋子P，使四颗棋子A，O，B，P成为轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标.（写出2个即可）

5.2 图形的平移和旋转

核心知识梳理

通过将图形平移、旋转，在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质，是研究几何问题、发现几何结论的有效工具.图形的移动主要内容包括平移、旋转的概念和性质，利用平移、旋转作出图形、设计图案和分析解决问题，用坐标表示图形变换等.用坐标表示图形变换，是从数的角度用代数的方法研究图形变换，将图形变换从数和形两方面统一起来.许多图形可以由基本图形变换而成，平移和旋转都是全等变换，不改变图形的形状和大小.

重点难点考点易错点解析

中考常常会要求在限定条件下作出简单平面图形移动后的图形，或要求运用平移、旋转的概念和性质进行计算、推理、探究等，旋转图形与中心对称图形的联系与区别是难点也是易错点，要有清晰明确的认识.中心对称图形足旋转图形的一个特例，是图形绕着旋转中心旋转180。后能与自身重合，而旋转图形是把一个图形绕着平面内某一点旋转一个角度.

规律方法总结

在作已知图形平移、旋转后的图形时，关键是确定已知图形中的一些特殊点的对应点，即要正确确定关键点，对于图形的平移作图，要注意平移方向及距离；对于图形的旋转作图，要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度，

重要考点题型例析

一、平移的性质

例l （2014.邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图l所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）.

A.甲种方案所用铁丝最长

B.乙种方案所用铁丝最长

C.丙种方案所用铁丝最长

D.三种方案所用铁丝一样长

解析：由图形可得出，甲所用铁丝的长度为2a+2b，乙所川铁丝的长度为2a+2b，丙所用铁丝的长度为2a+2b.故三种方案所用铁丝一样长.故选D.

反思：此题主要考查了生活中的平移现象，得出各图形中铁丝的长是解题关键.分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案.

例2 （2014.钦州）如图2，△A 'B'C’是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点p的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为______.

解析：由图2可知，A（-4，3），A’（1，一1），所以平移规律为向右5个单位，向下4个单位.因P（a，2），故埘应点（）的坐标为（a+5，-2）.

反思：本题考查平移，观察图形得到变化规律是解题的关键，根据对应点A、A’的坐标确定出平移规律，然后写出点Q的坐标即可.

二、旋转的性质

例3（2014.莱芜）如图3，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45。，点A旋转到A'的位置，则图中阴影部分的面积为（）.

反思：本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA’的面积加上半圆面积再减去半圆面积，即为扇形面积.

三、旋转中心的确定

例4 （2014.烟台）如图4，将△ABC绕点P顺时针旋转900得到△A 'B'C’，则点P的坐标是（）.

A.（1，1）

B.（1，2）

C.（1，3）

D.（1，4）

解析：将△ABC以点P为旋转中心，顺时针旋转90。得到△A’B’C’，故点A的对应点为点A’，点B的对应点为点B’，点C的对应点为点C’.作线段AA'和CC'的垂直平分线，它们的交点为（1，2），如图5.故旋转中心P的坐标为（1，2）.故选B.

反思：本题考查平面直角坐标系与旋转的性质，特别是旋转中心的确定，先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C’，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA’的垂直平分线上，也在线段CC’的垂直平分线上，即两垂直平分线的交点为旋转中心.

中考命题预测

1.如图6.将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DFF，若△ABC的周长为16 cm，则四边形ABFD的周长为（）.

A. 16 cm

B.18 cm

C.20 cm

D.22cm

2.如图7.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将0A绕坐标原点0逆时针旋转90。至OA’，则点A’的坐标是______ .

3.如图8.将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90。，得到△A 'B'C，连接AA’，若∠1=20。，则∠B的大小是（）.

A.70。

B.65。

C.60。

D.55。

4.如图9，如果把△ABC的顶点4先向下平移3格，再向左平移1格到达A’点，连接A'B，则线段A'B与线段AC的关系是（）

A.垂直

B.相等

C.平分 D.平分且垂直

5.将一次函数（）的图象向上平移2个单位，平移后，若y>0，则x的取值范围是（）.

A.x>4

B.x>-4

C.x>2

D.x>-2

6.如图10，△ABC绕点/i顺时针旋转45。得到△AB'C'.若∠BA C=90。，AB=AC=（），则图中阴影部分的面积等于_____ .

7.如图11，BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90。，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到.请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度.

5.3 图形的相似与解直角本角形

核心知识梳理

相似是图形的一种变换，是在全等变换基础上的拓展与延伸，主要内容包括比例的基本性质，线段比和黄金分割，相似图形、相似多边形及相似三角形的概念、性质、判定与应用，图形位似和应用，对于锐角三角函数主要研究正弦、余弦，正切等概念，直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容，锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形是锐角三角函数的应用，研究锐角三角函数的直接基础是有关相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依据锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习锐角三角函数的基础.

重点难点考点易错点解析

相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定是重点.位似变换是一种特殊的相似变换，对应顶点的连线交于一点，对应边也是互相平行的，相似也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等图形的形状、大小完全相同”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换.当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况，易错点主要有位似中心的确定、相似比的顺序性等.

锐角三角函数的概念和直角三角形的解法是重点，锐角三角函数的概念是难点也是关键.难点在于锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，关键在于只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之问的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形.锐角三角函数的概念与一次函数、反比例函数和二次函数有所不同，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，但它们都反映了变量之间的对应关系，本质上是一致的，在理解上这是难点.解直角三角形“化整为零，积零为整…‘化曲为直，以直代曲”的基本思想是难点，俯角、仰角、坡度等常用术语含义是易错点.

规律方法总结

要充分注意相似与全等之间的一般与特殊的关系，注意和全等的知识作类比，通过把多边形分割为j角形、作全等三角形等，可以把要证明的问题转化为已经解决的问题，综合应用以前学过的知识，从而把问题从未知转化为已知，从复杂转化为简单.要注意加强数形结合，利用锐角三角函数解直角三角形时，都要尽量根据题意画出图形帮助分析，找到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决.在中考中单独考查相似三角形的题目一般难度较低，高难度试题大多与函数、方程、圆、四边形等结合，主要考查数形结合、分类讨论等数学思想；解直角三角形应用题重点考查数学建模思想和解决实际问题的能力.

重要考点题型例析

一、相似三角形的判定与性质

例1 （2014.天津）如图1，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等丁（）.

A.3：2

B.3：1

C：.1：1

D.1：2

反思：此题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是确定相似三角形.根据题意得出△DEF≌△BCF，进而得出线段成比例，利用点E是边AD的中点得出答案即可.

例2 （2014年泰安市中考题，有改动）在△ABC和△A1B1C1中，下列两个命题：

反思：本题考查-命题与定理的知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定方法.利用相似三角形的判定定理进行判断即可.

二、解直角三角形的应用

例3（2014.安徽）如图2，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2问有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30。角，长为20 km；BC段与AB，CD段都垂直，长为10 km，CD段长为30 km.求两高速公路问的距离（结果保留根号）.相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：_________.

6.如图7.将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是_____cm.

7.为解决停车难的问题，在如图8-段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成450角，那么这个路段最多可以划出_____个这样的停车位.（）

5.4

视图与投影

核心知识梳理

本部分内容主要包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念，正投影的成像规律，视图、三视图等概念，三视图的位置和度量规定，一些基本几何体的三视图，简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化.画形状简单的几何体的三视图，是由立体图形得到相应平面图形的过程；由三视图想出相应物体形状，是由平面图形得到相应立体图形的过程.这从不同角度反映了平面图形与相应的立体图形是如何联系的，

重点难点考点易错点解析

视图与投影在中考中多以中低难度的选择题、填空题的形式考查，常见的题型为已知几何体求视图或已知视图还原几何体，也有将视图和求几何体的面积、体积相结合的题目.本部分内容与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，中考考查的多是识图、画图、制作模型等类型的问题，较少涉及定量的计算.三视图是重点，包括三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定、一些基本几何体的三视图、简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化等，掌握立体图形与相应平面图形的联系是实现立体图形与平面图形的相互转化的关键，要掌握这种联系，不仅需要认识从立体图形到平面图形的转化过程，还需要认识从平面图形到立体图形的转化过程，即需要从两方面双向地认识这种联系，易错点主要有弄错观察方向、画错三视图、错误判断几何体、平行投影与中心投影混淆等.

规律方法总结

“由物画图”可以使人认识到立体图形的投影是什么样的平面图形，“由图想物”可以使人把相关的平面图形在头脑中综合成为相应的立体图形，两者是互相联系的，同样的投影规则（规律）在两类问题中都是考虑问题的依据，“由物画图”可以看成是一个分解（或不同角度分析）的过程，而“由图想物”是一个综合的过程.解决问题有时需要分解，有时需要综合，有时需要两者结合，主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的宽和高.画三视图时，主视图、俯视图要长对正，主视图、左视图要高平齐，俯视图、左视图要宽相等，要把物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的部分的轮廓线画成实线，看不见的部分的轮廓线画成虚线，判断平行投影与中心投影时，分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线平行，则为平行投影：若两直线相交，则为中心投影，其交点处就是光源位置.

重要考点题型例析

一、简单组合体的三规图

例1 （2014.株洲）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（）.A.正方体

B.圆柱

C.圆锥

D.球

解析：选项A主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；选项B主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；选项C主视图是三角形、俯视图是圆形，故C符合题意；选项D主视图、俯视图都是圆，故D不符合题意，故选C.

反思：本题考查简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图.

例2（2014.自贡）如图1.是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的主视图是（）.

解析：由俯视图可知，小正方体只有2排，前排从左至右个数依次为l，1，l；后排右侧为2个.故选D.

反思：本题考查简单组合体的三视图，由三视图判断几何体，是常考的基础题型，考查空间想象能力、绘图能力.由俯视图，想象出几何体的特征形状，然后按照三视图的要求，得出该几何体的主视图和俯视图，

例3（2014.淄博）如图2是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长.该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是（）.