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简谈不定积分的知识串联法

2015-09-10何冬梅

考试周刊 2015年67期
关键词:不定积分知识

何冬梅

摘    要: 微积分学主要研究微分和积分,微积分及其应用是高等数学课程的主要内容,不定积分是定积分与微分方程的基础,因此,熟练运用相应的方法求出不定积分,是高等数学中的重中之重.由于求不定积分的方法较多,学完不定积分这章后,学生往往很是模糊,不能很快判断出用哪一种方法解决.作者就自己的教学实践,给出几种求不定积分的解决方法,希望能给更多的学生带来启示,以便更进一步掌握好求不定积分的方法.

关键词: 不定积分    知识    串联法

一、定义

针对不同的被积函数,运用知识把不定积分的几种方法联想在一起,很快做出解决问题的方法,被称为不定积分的知识串联法.

二、在求不定积分的过程中,学生存在的困惑

由于求不定积分的方法较多,学完不定积分这章后,学生往往感觉很是模糊,遇到求不定积分的问题不能很快判断出用哪种方法解决.

三、如何解决学生在求不定积分过程中的困惑(不定积分的知识串联法的具体运用)

针对学生在求不定积分过程中的困惑,以下通过不同但看起来有些相近的例子作对比,得出具体的解决问题的方法.

1.直接积分法(直接运用积分公式的方法)

法一(凑微分法):

以上四种方法,允许结果相差一个常数.显然,凑微分法要比换元积分法简单,况且换元积分法的最后一步还要还原变量.

3.分部积分法

分部积分公式:

4.第二换元法中的无理代换法

5.第二换元法中的三角代换法

从以上看出:凑微分法,突出的是一个“凑”字,这就要求学生掌握凑的技巧;分部积分法,突出的是“分部”,也就是关键是分清u、v两部分;第二换元法中的无理代换法与三角代换法的区分:无理代换法是令整个根式为一个新的变量,从而将根式去掉,而三角代换法是利用三角函数的恒等变形,将根号去掉,一般二次根式中的被开方式子中的未知数的次数是一次的,就用无理代换法,当被开方式子中的未知数的次数是二次的,一般就用三角代换法,但也不是绝对的.

四、结语

求不定积分的方法,除直接代入公式以外,凑微分法及分部积分法是较简单的方法,换元积分法较繁杂,因此做题时尽量避免用换元法,除非非用不可.所以,针对不同的被积函数,先看能否直接积分,不能再看是否可用凑微分法,若不能,再考虑分部积分法,最后考虑第二换元法.当然,这种求不定积分的知识串联法,也需建立在学生熟记不定积分公式及凑的技巧的基础上.

参考文献:

[1]高职考专规划新教材编审委员会编.高等数学.吉林出版社,2010.6.

[2]张国楚.大学文科数学.高教出版社,2005.

[3]姚孟臣.大学文科高等数学.高教出版社,2010.5.

[4]同济大学应用数学系.高等数学.高教出版社,2008.4.

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