高中数学课堂中的“比喻教学”

闫庭羽

摘 要： 高中数学是很多同学的一道坎，由于高中阶段的数学概念多数较复杂，学生难以在“枯燥”的数学课堂教学中愉快而高效地接受，这就要求我们老师在课堂上利用自己开阔的知识面为学生铺设出更多的理解途径，从而提高教学效率，而恰当的比喻就是一种简单有效的方法.

关键词： 高中数学课堂 比喻教学 比喻思想

一、图像变换的比喻

函数的图像变换是高中阶段的重要知识点，有下面一个题目：

例：f（x）=3sin（2x+）通过怎样的图像变换可以得到g（x）=sinx.

我们经常见到的题目是由简单变复杂的函数，而本题考的是一个逆向思维，如果我们正儿八经引经据典，从源头上讲起，既麻烦又不容易听懂.所以我们可以借助“返程”的思想完成这个题目.

这里是“返程”思想介绍：假如我从家到学校的路线是“先直行100米，右转后再直行300米，再左转直行500米”即到学校，那么我们返程的路线应该是刚才的步骤反过来，即“先直行500米，右转后再直行300米，再左转100米”即返回到家.整个返程过程中，我们只需把所有步骤颠倒过来，左右适当对调即可.

这样的思想在该题目中也可以得到形象运用：要得到f（x）=3sin（2x+），需将g（x）=sinx横坐标缩短为以前的，再向左移动，纵坐標伸长到以前的3倍.若是反过来问，易得需将f（x）=3sin（2x+）“先是纵坐标缩短为以前的，再向右移动，横坐标伸长为以前的2倍”即可得到g（x）=sinx.在这个过程中，只需要记住方向左右的对调，伸缩的互换即可.

这样的“逆流而上，顺藤摸瓜”的思想既简单又高效，借助到“返程”思想的比喻，非常生动自然，易于接受.

二、数学归纳法的比喻

高中阶段利用（第一）数学归纳法证明一个与自然数n有关的命题P（n），有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n时命题成立.这里n对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

综合（1）（2），对一切自然数n（n≥n），命题P（n）都成立.

大家应该都见过多米诺骨牌，多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方体骨牌.玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下.多米诺是一种游戏，多米诺是一种运动，多米诺还是一种文化.这种运动中蕴含了经典的数学归纳法思想，多米诺骨牌成功进行有两个条件：1.第一块倒下；2.每块骨牌的倒下都能导致下一个骨牌的倒下.

这里我们很容易发现，多米诺骨牌的游戏规律在数学归纳法的证明过程的严格呈现，“第一块骨牌的倒下”与“证明当n取第一个值n时命题成立”有严格的对应关系，同样“每块骨牌的倒下都能导致下一个骨牌的倒下”也正好映射到“假设当n=k（k≥n，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立”，而且还说明了数学归纳法的两个不可缺的条件.如果第一块骨牌我们不推它倒下，后面的骨牌也就不会倒下的，说明不验证初值的成立，

即便是具有了递推的条件也不能说明命题会成立（即后面的骨牌也就不会倒下）.若有两块之间存在一个较大的缺口，推倒了某块骨牌，后面的骨牌还是不会倒下，同样说明了如果不存在递推的关系，就不能得到对初值后的所有自然数n命题都会成立的结论.可见，在假设n=k成立时，证明n=k+1时的命题成立是数学归纳法证明中多么关键的一步.

多米诺骨牌效应在数学归纳法的讲解中运用应该是再恰当不过了，这样的课堂会让学生眼界大开，收获颇丰.

三、计数原理中乘法原理的比喻

乘法原理中为何要乘，乘的理由是什么？这是引导学生理解这个知识点之前首相要解决的一个重要问题.我们可以假设这样一个情景：有一个迷宫，有甲和乙两个正门，A，B，C三个后门，所有正门和后门彼此联通，参赛者只要从正门进，从后门出即视为完成迷宫游戏，则完成该迷宫游戏有多少种方法？

这个比喻可以借助“游戏”的名义引诱同学们“上钩”，同学们很容易用树状图的形式得到答案2乘3等于6.从而得到出乘法原理的雏形，为后来的乘法原理公式的介绍铺平道路.原理的接受自然水到渠成.

四、其他常见知识点的比喻思想的举例说明

通过以上这些实例我们可以看到利用学生脑海中已有概念框架类比另一种新的概念，对同学们的理解有很好的帮助.除了上述事例，我们还有很多地方可以使用到比喻教学的方法：

1.用“俄罗斯套娃”比喻“复合函数”中内外函数之间的关系.

2.用高中政治中“价格围绕价值上下波动”比喻“频率在概率附近上下波动”，体现频率的随机性和概率的稳定性.

3.高中数学中“点，线，面的关系”可以用“元素和集合”的关系描述，可以尽量避免学生将线在面上的符号写错.

4.用“每支箭只能落在一个靶子上”比喻“函数定义中，每个A集合中元素在B集合中都只能找到唯一确定的元素与之对应”，从而加深对“一对一，多对一”等函数对应形式的理解.

5.用“教室中门的高度对身高的限定”比喻：“恒成立问题”，比如：“班级最高的同学能通过教室的门，其他同学也能通过”可以类比形如“f（x）≤m”恒成立等类似问题.

6.若是？覬可以比喻成“空盒子”，那么“空盒子中装空盒子”可以比喻成{？覬}，当然{？覬}也就不是空集了.

7.我们为了说明函数的三要素：“定义域，对应法则，值域”中前面两个要素的决定性，可以将三要素依次比喻成“生产原料，生产工艺，产品”，很容易得出，生产原料和生产工艺若是一样，产品自然一样了，所以判断两个函数是否为同一函数即用两个要素即可.

通过以上若干例子的举例说明，在看似“枯燥无味”的数学课上适当加入形象的比喻，既可以活跃课堂，又可以借助比喻中已有实例的既成概念框架让一些较复杂的新概念变得简单易接受，提高教学效率和质量.

参考文献：

[1]杨涛.概率教学中“错误观念”转变的实践研究.中学数学教学参考，2008（8）（上半月）.

[2]黄永辉.浅谈高中数学中形象比喻式教学.新课程学习（下），2014（09）.

[3]郑晓静.谈形象化比喻在高中数学教学中的应用.新课程学习，2014.10.