一类可修复温贮备系统的解的存在唯一性分析

苑 爽，王 辉

(哈尔滨师范大学)

0 引言

在出现故障后，能够被修理至继续正常工作的系统被称为可修复系统。温贮备系统也是可修复与系统中的一类。根据文献［1］，温贮备部件在贮备期间也可能失效，因此需要研究这类系统的稳定性。曹晋华和程侃在文献［2］中，通过运用Lalace变换的方法证明了一类两同型部件温贮备系统的定态解的存在性，对于这类温贮备系统的研究，2002年，郭卫华和杨明增在文献［3］中借助纯理论分析的方法证明了其非负解的存在唯一性，2014年，张晓丽等人在文献［4］借助C0半群理论证明了其算子是稠定的且存在共轭算子，进而证明了此系统的算子增长界相等且等于各修复率的均值的相反数，2014年，韩筱爽等人在文献［5］中应用理论分析的方法，证明了该系统的主算子也有与系统算子相同的关于增长界性质。

该文根据C0半群理论并在文献［5］的基础上，从新的角度证明这类系统的非负时间依赖解的存在唯一性，为以后对主算子稳定性的研究提供基础。

1 系统介绍［2］

该文继续讨论曹晋华和程侃的文献［2］中建立的系统模型(如图1所示)，具体状态描述如下:

图1

状态0:一个部件在工作，另一个部件在温贮备.

状态1:一个部件在工作，另一个部件因为故障开始修理.

状态2:一个部件因为故障在修理，另一个部件在等待修理.

由文献［1］，两同型部件温贮备可修系统可以表示为如下方程;

初值和边界条件为:

其中，(x，t)∈［0，∞)×［0，∞］，且x代表对有故障部件进行修理所用时间，p0(t)代表在某时刻系统状态为0的概率，pi(x，t)(i=1，2)表示在(x，x+dx)时间内系统的状态为i的概率，规定当t≤x时，pi(x，t)(i=1，2)，λ表示正在工作的部件发生故障率，η表示正在进行温贮备的部件发生故障的概率，μ(x)表示对系统任何部件的修复率.

该文对修复率μi(x)做如下假设:

下面用Banach空间中的抽象Cauchy问题来分析上述系统.

取状态空间:

显然X为Banach空间，下面引入算子及其定义域:

由系统方程组可改写为:

2 系统算子性质

定义［6］算子A+B+C的谱上界s(A+B+C)定义为:

s(A+B+C)=inf{ω∈R|(ω，∞)⊆ρ(A+B+C)}

定义［6］若算子A+B+C是半群T(t)无穷小生成元，则增长界ω(A+B+C)定义为

ω(A+B+C)=inf{ω∈R|∃M≥1，对∀t≥0有 ‖T(t)‖ ≤Meωt}

定义［7］E的子集C在E中共尾(cofinal)，若满足对每个f∈E，存在g∈C，使得f≤g.

引理1［5］当z＞– μ*，z∈ ρ(A).

引理2［5］:当 Rez＞– μ*时，z∈ ρ(A).

引理 3［5］:s(A)=– μ*.

引理4:［5］(－ ∞，－ μ*)⊆ σ(A).

引理 5［5］:s(A)= ω(A).

引理 6［5］:ω(A)=– μ*.

3 系统非负解的存在唯一性

定理1 系统主算子A为Banach空间上的dispersive 算子［8］.

这里:

从而命题得证.

定理2 由A+B+C生成的群T(t)是C0半群.

证明 由文献［4］知A+B+C预解正算子，又由定理1知A是dispersive算子，且根据文献［6］知为预解正算子生成的群是T(t)是正C0半群，由文献［9］中半群的唯一性知，这个半群刚好是T(t).

定理3 系统存在唯一的非负时间依赖解P(t，*)满足 ‖P(t，*)‖ =1，t∈［0，∞)..

证明 由定理2系统算子A+B+C一个生成正C0半群T(t)，故系统存在唯一的非负时间依赖解P(t，*)，并可以表示为

P(t，*)=T(t)p0，t∈［0，∞).于是，

至此，对两同型部件温贮备可修系统算子的性质做了比较全面的讨论，并证明了系统非负解时间依赖解存在唯一性，该方法与结论为以后对该系统主算子的稳定性研究提供了基础.

［1］Juang Y S，Lin S S.Kao H P .A knowledge management systems for series－parallel availability optimization and design［J］.Expert Syst Appl，2008，34:181–193.

［2］曹金华，程侃，可靠性数学引论［M］.科学出版社，1986.

［3］郭卫华，杨明增，两同型部件温贮备可修系统解的性质分析［J］，河南教育学院学报，2002，11(4):7–8.

［4］张晓丽，徐光甫，李伟源，等.两同型部件温贮备可修系统算子性质J］.数学的实践与认识，2014，44(18):217–224.

［5］韩筱爽，孙洪维，张玉峰.两同型部件温贮备可修系统算子性质［J］.数学的实践与认识，2014，44(18):217–224.

［6］匡继昌.实分析与泛函分析［M］.高等教育出版社，2002.

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