带参数的二阶时滞微分方程的边值问题*

蹇玲玲

(青岛理工大学琴岛学院)

0 引言

时滞系统常用于描述一类与时间历史有关的运动现象，带有参数的微分方程是考虑了控制因素的数学模型，在物理学，人口动力学，经济学等学科中已经有很广泛的应用，从而引起许多数学工作者的关注，近年来也已经获得了很多边值问题解的存在性结论.如Jankowaki在文献［1］中讨论了一阶带参数的微分方程，Brown在文献［2］和Feckan在文献［3］中分别利用Neilsen不动点定理研究了带参数的二阶和高阶边值问题.目前对带参数的时滞微分方程的研究相对较少些，文献［4］利用上下解和单调迭代法讨论了一阶带参数的时滞微分方程，文献［4］利用Guo－Krasnoselskii不动点定理(见文献［6］)研究了二阶时滞微分方程的边值问题:

推广了1997年Henderson和Wang［7］的结果.为此带参数的时滞微分方程边值问题还有待于进一步的研究.该文研究了非线性二阶时滞微分方程边值问题

其中 λ＞0，g:［0，1］×［0，∞)2→［0，∞)是一个连续函数.通过构造一个新的锥，对文献［5］的结果进行了推广.

1 预备知识和引理

假设u(t)是问题(1)的一个解，则

其中

容易验证

则

为了行文方便，首先给出一些符号及基本假设.

(H2)存在ξ＞0使得

其中α =min{θ，ξ}，则K是E中的锥.

定义算子T:E→E

则问题(2)的解等价于算子T的不动点.此外，还有如下引理.

引理1.1.1 算子T:E→E是全连续算子，且T(K)⊂K.

证明 对∀u∈K，显然有(Tu)(t)≥0，∀t∈［0，1］，且

此外

所以Tu∈K，即T(K)⊂K.再由Arzela－Ascoli定理知T是全连续算子.

2 主要结果及证明

定理2.1 假设条件(H1)(H2)成立，且ming∞＞0，maxg0＜，则存在Λ＞0，当λ＞Λ时，边值问题(1)至少存在一个正解.

证明 只需证明算子T在K中存在不动点.

由maxg0＜∞，则对∀ε＞0，存在R1＞0，使得当0≤|u|+|u'|≤R1时，有

从而对u∈∂CR1，由(H2)及(2)式得

所以当ε充分小时，有

另一方面，对上述ε＞0，由ming∞＞0知存在＞0，使得当|u|+|u'|≥ˉR2时，

且

所以

因此存在Λ＞0，当λ＞Λ时，‖Tu‖≥‖u‖.综上由Guo－Krasnoselskii不动点定理知T存在一个不动点u(t)∈K满足R1＜‖u‖＜R2，即边值问题(1)至少存在一个正解.

∞的存在性结果.定理2.2 假设条件(H1)(H2)成立，且，则存在Λ＞0，当λ＞Λ时，边值问题(1)至少存在一个正解.

证明 类似定理2.1的证明，只需证明算子T在K中存在不动点.

由ming0＞0可得，对∀ε＞0，存在R3＞0，使得当0≤|u|+|u'|≤R3时，有

所以对u∈∂CR3，由条件(H2)和(2)，(4)两式，类似定理2.1的证明过程得

且

所以

因此存在Λ＞0，当λ＞Λ时，‖Tu‖≥‖u‖.

另一方面由maxg∞＜∞ 得，对上述充分小的∀ε＞0，存在ˉR4＞0使得，当|u|+|u'|≥时，有

下面对g份两种情况进行讨论.

(i)g有界.取N＞0，使得g(s，u，u')≤N，∀s∈［0，1］，0≤u＜∞，0≤|u'|＜∞，令R4=max{λN，2R3}，则当u∈ ∂CR4时，有

且

所以

(ii)g无界.取R4＞max{，2R3}，使得

g(s，u，u')≤g(s，R4，±R4)，∀s∈［0，1］，0＜u＜R4，0＜|u'|＜R4，则对u∈∂CR4，由(5)得

且

所以

其中ε＞0充分小.综上由Guo－Krasnoselskii不动点定理知T存在一个不动点u(t)∈K满足R3＜‖u‖＜R4，即边值问题(1)至少存在一个正解.

［1］Jankowski T.Monotone Iterations for First Order Differential Equations with a Parameter［J］.Acta Math，1999，84:65–80.

［2］Brown R F.Topological Identification of Multiple Solutions to Parameterized Nonlinear Equations［J］.Pacific J Math，1988，131:51－69.

［3］Feckan M.Parametrized Singular Boundary Value Problem［J］.J Math Anal Appl，1994，188:417–425.

［4］张凤琴，马知恩，燕居让.一阶带参数的时滞微分方程的边值问题［J］.应用数学学报，2003，26:525－532.

［5］Ding Yongbai，Yuan Tongxu.Existence of positive solutions for boundary－value problems of second－order delay differential equations［J］.Applied Mathematics Letters，2005，18:621–630.

［6］Guo D，Lakshmikantham V.Nonlinear Problems in Abstract Cones，Academic Press，New York，1988.

［8］Henderson J，Wang H Y.Positive solutions for nonlinear eigenvalue problems［J］.J Math Anal Appl，1997，208:252–259.