不规则载荷影响地表近场垂向位移和倾斜观测的定量计算

闫伟 牛安福 陈国琴

中国地震台网中心，北京市西城区三里河南横街5号 100045

0 引言

随着国家“十五”前兆台网建设，地震观测系统已建成包括260多个GPS站点、1000多个地表和钻孔倾斜观测站的观测网络，为地壳运动和地表倾斜前兆观测提供了大量的数据支撑，不少学者探讨了震前形变异常的变形特征(张晶等，2006、2007、2009;邱泽华等，2010;邱泽华，2014;牛安福等，2009、2012、2013)。另一方面，随着基础设施建设的增多，各台站的观测环境受到的影响益发严重，台站周边存在着越来越多的载荷影响(朱航等，2010;刘瑞春等，2012;马栋等，2014)。

载荷对周边变形观测影响的理论分析在地震前兆观测或地基沉降监测研究中具有一定意义(张蕙兰，2013;黄庆享，2005;杨国春等，2002)。由于实际载荷多为不规则形状，在处理相关问题时，不少学者利用数值分析技术探讨其周边位移应变解(Wang，2000、2002;杜瑞林等，2004)，也有学者通过将模型简化成质心点载荷模型的方式获得该问题的近似解析解(胡卫建等，2002;邱泽华，2004;骆鸣津等，2008;李祖宁等，2007)。由于质心简化模型的前提是水平距离相对载荷尺寸较长，但此时载荷的影响量也会随着距离的增加而减小。为了精细刻画载荷近场的影响，有必要研究不规则形状载荷模型近场解析解的计算方法。由于目前大部分前兆观测为地表或近地表观测，因此本文将研究重点定位在单层介质的不规则形状解析解模型的建立和分析。

1 质心点状载荷模型周边垂向位移场和倾斜场

1.1 质心点状载荷模型周边垂向位移场

在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力P时(图1)，任意点M(x，y，z)的竖向正应力及竖向位移(沉降)可由布西内斯克解(Boussinesq，1885)计算。

M(x，y，z)点的竖向正应力σz及竖向位移w可表示成如下形式

图1 质心点状载荷模型坐标示意图

公式(1)、(2)中R为M点到集中力作用点P的距离，为杨氏模量，μ为泊松比。

以砂岩介质为例，取杨氏模量E=4×107Pa，泊松比μ=0.25，点状集中载荷力P=2.0×104N，利用公式(2)即可得到载荷周边垂向位移场空间分布(图2(a))和深度为0.1m处水平切面的垂向位移等值面的分布(图2(b))。

图2 (a)点状载荷模型垂向位移场三维切片图;(b)深度为0.1m水平切面上的垂向位移分布图

由图2可以看出，点状载荷所引起的垂向位移场的主要特征为:①载荷集中点处垂向位移最大;②垂向位移自载荷中心向x、y、z三个方向快速衰减;③深度为0.1m水平切面垂向位移也表现出自载荷中心向x、y方向快速衰减的趋势。

1.2 质心点状载荷模型周边倾斜场

由于受到垂向载荷而引起的倾斜角度可表示为垂向位移与水平某方向位移之比的反正切函数。由公式(2)对R求偏导可得

公式(3)、(4)相乘可得

点状载荷引起x和y方向的倾斜角度φx和φy分别为

同样，以砂岩介质为例，取杨氏模量E=4×107Pa，泊松比μ=0.25，点状集中载荷力P=2.0×104N，利用公式(7)即可得到深度为0.1m处水平切面的x和y方向倾斜场等值面分布(图 3)。

图3 深度为0.1m水平切面的倾斜场等值面图

为了更直观地显示载荷周边倾斜场的分布情况，我们定义水平面倾斜的标量值

点状载荷周边倾斜标量值及其深度为0.1m平面的倾斜方向如图4所示。

由点状载荷模型倾斜场分布(图3、4)可以看出，在深度为0.1m的水平切面上，倾斜量值最大的点并不在点载荷的位置，而是存在一定的水平偏离;x和y倾斜方向指向载荷中心。

图4 (a)点载荷周边倾斜标量值θ的三维空间分布;(b)深度为0.1m水平切面的倾斜矢量图

2 不规则形状载荷模型的建立

实际载荷的不规则形状可分为载荷分布均匀的二维不规则形状(如无边坡的平底池塘)、载荷分布不均匀的二维不规则形状(如无边坡的斜底池塘)、载荷密度均匀的三维不规则形状(如相同密度的山体)、载荷密度不均匀的三维不规则形状(如不同密度的山体)。为便于研究，可将其归纳为二维不规则形状载荷模型和三维不规则形状载荷模型。

2.1 二维不规则形状载荷模型的建立

针对二维不规则形状载荷模型，可将该模型的总作用力P进行散点化，各散点的作用力记为Pi，分别求取各散点对某点M的垂向位移Wi和倾斜量 (Txi，Tyi)，然后求所有散点对M点作用的矢量和，即可得到该点的垂向位移w和倾斜量(Tx，Ty)。设网格个数为n，各变量间的关系为

其散点化过程如图5所示。在实际计算时，可将二维不规则模型以不同长度格网化，利用公式(2)、(5)、(6)分别求取M点的wi和Txi和Tyi，然后利用公式(10)、(11)求取该点的垂向位移场w和倾斜矢量(Tx，Ty)。

由于经过散点化的处理，因此需要验证计算结果随格网数目变化的收敛特征。图6给出了在杨氏模量E=4×107Pa、泊松比μ=0.25、总载荷P=2.0×104N的条件下，M点(1.5m，-1.5m，-0.2m)处垂向位移w及其一阶差分 Δw随不同的格网划分而发生的变化。从图中可以看出，随着格网数的增加，垂向位移收敛于-2.3663×10-5m(图6(a))，垂向位移的一阶差分结果收敛于0(图6(b));x和y方向倾斜角度分别收敛于-7.8278×10-6rad和8.2101×10-6rad(图6(c)、(e))，其一阶差分结果收敛于0(图6(d)、(f))。该收敛特征也说明了运用散点化方法计算二维不规则形状载荷模型的正确性和可行性。

图5 二维不规则模型散点化过程示意图

图6 二维不规则形状载荷模型M点垂向位移、x方向倾斜角度、y方向倾斜角度与格网数的关系

2.2 三维不规则形状载荷模型的建立

三维不规则形状载荷模型的建模思路与二维不规则形状载荷模型的建模方法基本一致，也是将不规则形状载荷进行散点化处理(图7)。不同之处为:①针对密度均匀的三维不规则形状载荷，可将散点的高程(Hi)作为权重对总载荷P进行重新分配(图8);②针对密度不均匀的三维不规则形状载荷，可将散点的高程(Hi)和密度(ρi)的乘积作为权重对载荷P进行重新分配，即(12)式。

图7 三维不规则形状载荷模型散点化过程示意图

图8 三维不规则形状载荷高程空间分布

由于密度不均匀的三维载荷和密度均匀的三维载荷在处理过程中只是权重的定义不同，为了清晰地说明载荷的建模方法，本文重点讨论密度均匀的三维载荷模型的建立方法。与二维不规则形状载荷模型类似，由于存在散点化的处理过程，需要验证计算结果随格网数目变化的收敛特征。图9为在杨氏模量E=4×107Pa、泊松比μ=0.25、总载荷力P=2.0×104N的条件下，M点(1.5m，-1.5m，-0.1m)处垂向位移w、x方向倾斜Tx、y方向倾斜Ty及其一阶差分随格网划分的关系。由图可以看出，随着格网数的增加，垂向位移收敛于-2.3977×10-5m(图9(a))，垂向位移的一阶差分结果也收敛于0(图9(b))。x和y方向倾斜角度分别收敛于-8.005×10-6rad和8.5383×10-6rad(图9(c)、(e))，其一阶差分结果也收敛于0(图9(d)、(f))。该收敛特征也说明运用散点化方法计算三维不规则形状载荷模型的正确性和可行性。

图9 三维不规则形状载荷模型M点垂向位移、x方向倾斜角度、y方向倾斜角度与格网数的变化关系

3 两种载荷模型计算结果的比较

为了讨论不规则形状载荷模型和质点载荷模型的差异性，本文计算了在y=0.4m，深度为0.1m时沿x方向二维不规则形状载荷模型(图5)和质心模型引起的垂向位移w、x方向倾斜量Tx、y方向倾斜量Ty的变化(图10(a)、(c)、(e))，为了进一步揭示二者的差异性，本文求出模型的差异与不规则载荷模型结果的百分比随距离的变化并绘成图10(b)、(d)和(f)。

由图可以看出，两种模型在远距离端的差异呈逐渐减小的趋势，即两种模型的垂向位移w、x方向倾斜量Tx、y方向倾斜量Ty在远距离端计算结果趋于一致(图10(a)、(c)、(e))。近距离端两种模型的差异性比较大，从w、Tx、Ty的差异百分比图(两模型计算结果差与不规则载荷模型结果的比值)也可以看出二者的差异性较大，有的甚至达到了50%以上(图10(b)、(d)、(f))，该现象也说明在研究近距离端的垂向位移和倾斜场问题时，不应将载荷模型作简单的质点化处理。

图10 根据两种模型计算得到的垂直位移、x方向倾斜及y方向倾斜的结果比较

4 不规则形状模型周边垂向位移场和倾斜场空间分布特征

运用前文提到的二维不规则载荷模型的建立方法，本文计算了图5所示的不规则二维形状在z=-0.1m处的水平切面的垂向位移w、x方向倾斜Tx和y方向倾斜Ty的空间分布等值线图(图11)。可以看出，在深度为0.1m处的水平切面，垂向位移场的空间分布并非圆形，而是与不规则形状具有一定相关性的不规则图形(图11(a));Tx和Ty场的空间展布形状也与质点载荷引起的规则倾斜场(图3)具有一定的差异性，并表现出了和载荷形状具有一定的相关性。

由于三维模型受到散点高度权重的影响，三维不规则载荷模型在z=-0.1m处的水平切面计算结果的空间不规则性更加突出。在深度为0.1m的水平切面，垂向位移场的空间分布也非圆形(图12(a));Tx和Ty场的空间展布形状也与质点载荷引起的规则倾斜场(图3)在近场区域的差异性更大(图12(b)、(c))。引起该差异性的原因除了载荷的水平投影的形状不规则外，还和其散点化后载荷分配时的权重(高程)具有一定的关系。

5 结论与讨论

图11 二维不规则载荷模型在深度为0.1m水平切面上垂向位移场(a)、x方向倾斜场(b)、y方向倾斜场(c)的空间分布

综上所述，不规则载荷在近场的垂向位移和水平向倾斜场可使用本文叙述的方法建立。二维不规则载荷模型的建立步骤可归纳为:首先对载荷形状进行散点化，其次根据不规则多边形内散点个数对载荷P进行平均分配，然后分别计算各散点载荷对某点的影响，最后矢量化合成整个不规则载荷对该点的影响。三维不规则载荷模型的建立步骤可归纳为:首先对三维载荷形状在水平面的投影进行散点化，其次利用不同的散点的高程作为权重进行载荷P的重新分配，然后分别计算各散点载荷对某点的影响，最后矢量化合成整个不规则载荷对该点的影响。

相对以往质点简化模型，不规则形状载荷模型的建立可较细致地刻画不规则载荷近场的垂向位移和水平向倾斜场的特征。可为地表GPS、洞体倾斜和钻孔倾斜类观测载荷影响分析提供理论计算依据。

本模型的适用条件是:①本模型只适用于单层介质模型问题;②在重新建立载荷P时，本文并未考虑散点之间存在垂向作用力或剪应力的情况。

12 三维不规则载荷模型在深度为0.1m水平切面上垂向位移场(a)、x方向倾斜场(b)、y方向倾斜场(c)的空间分布

致谢:本研究中作者曾与中国地震局地震预测研究所张晶研究员和刘琦博士进行过有益的咨询和讨论，在成文过程中得到了中国地震台网中心马未宇博士和解滔博士的指导和帮助，匿名审稿人对论文的改进提供了中肯的建议，在此一并表示感谢。