洞悉数学中两类题型的规律

卢丽丽

【内容摘要】生活中的规律无处不在，只要我们能够发现规律，并且主动去运用规律，生活会变得有条理、简单愉快。数学也是如此。

【关键词】规律 分析问题 创造性思维 题海

以前我总是为了讲题而讲题，题目一题一题的做，一题一题的讲，讲完了，学生也把书中的、练习册中的题目做完了，但是收效甚微，相信很多老师也是这样做的。我们总是感觉有做不完的题目，并且学生每天做大量类似的题目，不仅浪费时间、精力，还会让学生产生倦怠感。长此以往，学生会产生厌学情绪，要是想学好数学，那简直是空中楼阁。

随着对这些题目的深入研究，我发现，题目是可以归类的，有很多规律可循，如果我们找到了这些规律，学生就没有必要做那么多的重复劳作，并且见到一个题目立刻能知道它属于哪一类，它的解题方法是什么。这样我们就可以把题海变成题河了。相信这也是每一位数学教师的追求。学生再也不用在题海里挣扎了。这样既能节省学生学数学的时间，又能锻炼学生的数学思维能力，归纳概括能力等等多种能力。这样就能起到事倍功半的效果。所以我们当老师的要善于总结规律。

【规律一】

苏教版八年级数学课本第八十页例题4。已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形。

这一个题目我们可以归结为：如果一个四边形满足条件——一组对边平行，一条对角线是另一条对角线的垂直平分线，那么结论是——这个四边形是菱形。方法——证明对顶点的一对三角形全等。

以上这个规律记住了，一系列的题目都会解决了。

如：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点。四边形BCDE是菱形吗？为什么？

这一题，由BC=CD，可以得到点C在BD的垂直平分线上，由AD⊥BD，E为AB中点。可以得到DE=EB，所以点E在BD的垂直平分线上，故CE所在的直线是DB的垂直平分线，有由于AB∥CD，所以这一道题可以转化到上面所说的那种题型，也就容易解决来了。

又如，在△ABC中，AD是角平分线，E是AB上一点，且AE=AC，EG//BC，EG交AD于点G，求证：四边形EDCG是菱形。

此题由AD是角平分线，AE=AC，可以得到AD所在的直线是EC的垂直平分线，在加上EG//BC，这又符合我们的规律。

【规律二】

案例1：苏教版七年级数学课本第六章《平面图形的认识》的第一节课“线段、射线、直线”中，我们数线段的条数（要有规律去数）：线段上只标出2个点时，线段的条数为1；线段上标出3个点时，线段的条数为1+2；线段上标出4个点时，线段的条数为1+2+3；……所以我们可以推出：线段上标出n个点时，线段的条数为1+2+3+4+…+（n-1）；这个式子很长，是高中要学习的等差数列的求和问题，要给学生讲清楚它的答案为什么是n（n-1）/2，现在来说很难，所以我们只能要求学生牢记这个答案了。

案例2：在第六章《平面图形的认识》的第二节“角”中，认识完角之后，我们要数角的个数（有规律去数）：只有有公共端点的2条射线构成角时，角的个数为1；只有有公共端点的3条射线构成角时，角的个数为1+2； ……，只有有公共端点的n条射线构成角时，角的个数为1+2+3+4+…+（n-1 = n（n-1）/2；

案例3：若平面内有3个点，过其中任意两个点画直线，最多可以画（1+ 2）条直线；……；若平面内有n个点，过其中任意两个点画直线，最多可以画n（n-1）/2条直线。

案例4：3个小朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了多少次手？4个小朋友在一起呢？n个小朋友在一起呢？

这一题思考方法与案例3相同，结果也是n（n-1）/2

案例5：平面内有n条直线，设它们的交点个数为m，请用含n的代数式表示m的最大值。

分析：（如果没有要求表示m的最大值，这题就麻烦了）这题先从简单情况考虑：如果是2条直线，这时m的最大值为1；如果是3条直线，为了使m的值最大，就要使第一条直线和第二条直线相交，且第三条直线与前两条直线都相交，所以此时m的最大值为（1+2）； ……如果是n条直线，为了使m的值最大，就要使第一条直线和第二条直线相交，第三条直线与前两条直线都相交，第四条直线与前三条直线都相交，……第n条直线与前（n-1）条直线都相交，所以此时m的最大值为：n（n-1）/2

只要学生遇到这类的题目，可以直接把答案填上去。这样既保证做对，又节省时间。

总之，苏教版七年级数学书中多次出现这类问题，如果学生没有掌握规律，不会上面的式子，要想解决这类题目可以说是无从下手。作为一名老师，这就是我们价值的体现之处了。首先我们应该把这类难题理解透彻，总结规律，然后再给学生讲解清楚。相信在考试中学生遇到类似的问题就可以迎刃而解了。难题之所以是难题，是因为学生平时很少碰，或是学生没有吃透题目的内在规律。很多的难题光是靠学生自己去领悟是不行的，毕竟学生的思维能力、创新能力和已有知识水平是达不到的。这就需要我们当老师的来做领路人了。

（作者单位：江苏省徐州市经济技术开发区实验学校）