基于一般分布总体的统计量的渐近分布

周菊玲， 周雅琦（.新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054；.上海财经大学上海00433）

基于一般分布总体的统计量的渐近分布

周菊玲1， 周雅琦2
（1.新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054；2.上海财经大学上海200433）

在抽样分布理论中，来自正态总体的统计量中，以三大重要分布为代表的一些精确的抽样分布，它们的应用很广，但为数不多。在其他情况下，总体为非正态总体或者总体的分布未知时，抽样分布都不易导出，或导出过于复杂而难于应用。文章利用大样本的方法，结合Slutsky定理，研究了来自一般总体的几个统计量，推出了它们的渐近分布。

Slutsky定理；统计量；渐近分布；

统计推断的理论与方法贯穿于现代统计中，抽样分布理论是进行统计推断的基础。在抽样分布理论中，至今已导出的χ2分布，t分布，F分布等，它们以来自正态总体、抽样分布的精确性、应用的广泛性、为数不多尤为重要。但在其他情况下，总体为非正态总体或者总体的分布未知时，抽样分布都不易导出，或导出过于复杂而难于应用，这迫使人们去寻求其近似分布。文章利用大样本的方法，结合Slutsky定理，研究了总体是一般分布或者分布未知情况下的几种统计量A21、B2及其函数等，推出了它们的渐近分布。

1 预备知识

先引用几个寻求统计量渐近分布的定理：

引理2 设{Zn}为一随机变量序列，且常数，又函数g（·）在点c处连续，则g（Zn）g（c）。

引理3 设{an}为一趋于∞的数列，b为常数，并且对随机变量序列{Zn}有an（Zn－b）Z。

又设g（·）为可微函数，且g＇在点b处连续，则有an［g（Zn）－g（b）］）Z。

引理4 设X1，X2，…，Xn是来自某总体X的一个简单随机样本，总体X的均值为μ、方差为σ2，四阶中心矩v4＝E（Xi－μ）4有限，则样本方差＝（Xi－）2的渐近分布为N（）。

另外，为叙述方便，先将下文中的一些符号给予说明。

设X1，X2，…，Xn是来自某总体X的一个样本，

2 一般分布总体的统计量的渐近分布

在抽样分布理论中，正态总体是实际中经常用到的一个总体，来自该总体的χ2分布，t分布，F分布等一批精确分布，应用非常广泛，但为数不多。相对于正态总体来说，总体为非正态总体或者总体的分布未知时，要求抽样分布的精确分布是非常不容易的，或导出过于复杂而难于应用。下面我们利用大样本方法，研究来自一般总体或总体分布未知时统计量的分布。

定理1 设X1，X2，…，Xn是来自某总体X的一个样本，该总体具有均值μ和正的有限方差σ2，则统计量）的渐近分布为N（μ

由中心极限定理得：

考虑到A2＝B2＋A21，再用Slutsky定理，结合（1）式和（2）式，可得：A1＋μ2

这说明A2的渐近分布为N（σ2＋μ2。定理得证。

由定理2的证明过程知B2的渐近分布，仿照定理1和定理2的证明方法，构造合适的函数，很容易可以得到以下结论（限于篇幅，证明略）。

推论1 设X1，X2，…，Xn是来自某总体X的一个样本，则B2的渐近分布为N（σ。其中的σ2和γ2同定理2中的。

定理3 设X1，X2，…，Xn是来自某总体X的一个样本，总体X具有均值μ和正的有限方差σ2，则样本均值X—的函数g＝（1－）的渐近分布为N（μ（1－μ）。

证明 由中心极限定理知：

（其中Z0为标准正态变量），

另外取函数g（z）＝z（1－z），则g＇（z）＝1－2z在（－∞，＋∞）上均连续；再取an＝σ

n，b＝μ，则由引理3得：

3 结语

综上所述，在总体为任意分布或者分布未知的情况下，利用大样本方法，并结合Slutsky等引理，可以得到一些统计量的渐近分布。而且这些方法具有可推广的意义，只要能构造合适的函数，就可以得到更多的抽样分布，以便进行进一步的统计推断。

［1］茆诗松，王静龙，濮晓龙.高等数理统计［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［2］韦来生.数理统计［M］.北京：科学出版社，2008.

［3］盛骤.概率论与数理统计［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［4］李开灿.矩阵Γ分布的一致渐近正态性［J］.数学学报，2006，（3）.

［5］任录顺.中心极限定理及其附注［J］.纺织高校基础科学学报，1998，（12）.

The Asym ptotic Distribution of Various Statistics Based on the General Distribution

ZHOU JU－Ling1， ZHOU Ya－Qi2
（1.College ofMath－physics and Informatinon Science，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China；2.College of Finance and Economics，Shanghai University，Shanghai，200433，China）

In sampling distribution theory，among statistics from normal population，some accurate sampling distributions represented by three important distributions arewell－used but few in number.In other cases，when the population is notnormal distribution or the distribution is unknown，sampling distributions are noteasily derived，or too hard to apply due to the sophisticated process.In this assay，with Slutsky＇s theorem and big samplemethod，we studied several statistics from common population and abtain their asymptotic distributions.

Slutsky＇s Theorem；Statistic；Asymptotic distribution

O29

A

1008⁃9659（2015）02⁃042⁃04

2015－03－20

周菊玲（1968－），女，新疆哈密人，硕士，副教授，主要从事应用数学的教学与研究。