气囊-浮筏耦合船用转子-轴承系统的非线性动力学研究

李 明，赵 文，何 琳

(1.西安科技大学力学系，陕西西安710054；2.海军工程大学振动与噪声研究所，湖北武汉430033)

气囊-浮筏耦合船用转子-轴承系统的非线性动力学研究

李 明1，赵 文1，何 琳2

(1.西安科技大学力学系，陕西西安710054；2.海军工程大学振动与噪声研究所，湖北武汉430033)

讨论了气囊-浮筏耦合的船用转子-轴承系统的动力学建模以及其非线性动力学特性。首先，基于短轴承理论，建立了气囊-浮筏的转子-轴承系统的动力学模型。采用数值分析的方法，分析了系统的非线性动力学行为，如稳态响应、轴心轨迹、Poincaré映射、分岔图以及最大Lyapunov指数等。研究结果表明，在较低转速下，系统会呈现单周期运动，随着转速的不断增大，系统出现单周期、倍周期、拟周期和混沌等复杂的非线性动力学行为，这些动力学特性可以为气囊-浮筏耦合船用转子-轴承系统的振动控制及其参数优化提供理论依据。

气囊-浮筏；船用转子系统；短轴承；非线性振动；动力学特性

引 言

近年来，船用机械系统的隔振减噪问题备受关注［1］。为了降低舰船动力设备与船体之间能量的传递，通常在动力装置(设备)和基座(基础)之间安装各类隔振系统，其中浮筏隔振装置由于其结构紧凑，同时又能有效地降低振动能量的传递，因此被广泛应用于舰艇机械系统的减振降噪之中［2-3］。

在有关浮筏隔振系统的动力学研究中，文献［4］利用大型浮筏隔振系统中的筏架作为中间质量块以实现控制系统振动能量传递，重点分析了大型筏架隔振系统上下层支撑边界特性对其振型及频率的影响；文献［5］基于有限元法建立了具有柔性基础的隔振系统动力学模型，主要讨论了系统主动控制的时滞及稳定性问题；文献［6］则将气囊隔振器应用于船舶主机的隔振中，结果显示气囊隔振系统能较大幅度地减小主机激振力向船体基座能量的传递。文献［7］推导了筏架和基础均为弹性体的浮筏动力学方程，分析了隔振器的非线性刚度对系统动态特性的影响，并且比较了线性和非线性柔性浮筏隔振系统其动力学特性的差异。本文作者建立了具有气囊-浮筏隔振装置的非线性动力学模型，并讨论系统稳态响应［8］。另一方面，在有关柔性支承的转子-轴承系统非线性动力学研究领域，文献［9］基于有限元方法，分析了航空发电机柔性转子系统动力学平衡问题，利用模态分析以及计算出的临界转速，探讨了不同转速下转子的动力学运动特性，并通过实验对数值计算的结果进行验证；文献［10］研究了滑动轴承支撑的双柔性转子系统的分岔行为，并且着重分析了不同物理参数对转子-轴承系统的动力学行为的影响；文献［11］探讨了长轴承支承下多跨转子系统的动力学特性，重点分析了不同类型轴承在水平和垂直方向的动态振动响应；文献［12］讨论了非线性油膜力作用下的柔性转子系统动力学问题，而文献［13］则建立了弹性支撑滑动轴承的Jeffcott转子的动力学模型，研究了具有弹性支撑滑动轴承-转子系统的动力稳定性问题；文献［14］考虑了气膜压力与弹性支承对高速气体润滑轴承-转子系统振动特性的影响。

上述研究主要讨论了浮筏隔振系统的动力学特性、动力学控制问题和具有弹性支承的转子-轴承系统的非线性动力学行为，而目前关于具有气囊-浮筏耦合的转子-轴承系统非线性动力学的相关问题研究较少。本文的主要目的是讨论气囊-浮筏耦合船用转子-轴子系统的动力学建模，重点分析系统的非线性动力学行为，从而为船用转子-轴承系统的振动控制及参数优化提供理论依据。

1 气囊-浮筏耦合转子-轴承系统动力学模型

1.1 运动方程

图1所示为气囊-浮筏耦合的船用转子-轴承系统示意图。其中轴承支座和浮筏可以看作是一个具有完整单元的质量块，即视为“筏架”，气囊则简化为具有一定刚度和阻尼的弹簧，圆盘、轴承支座以及浮筏可视为刚体。

图1 气囊-浮筏耦合的船用转子-轴承系统示意图Fig.1 The schematic diagram of rotor-bearing system coupled by air bag-floating

基于短轴承理论，考虑系统的切向和垂向的运动，这样转子和浮筏的运动可以用4个自由度来描述。根据牛顿第二定律，系统的运动微分方程可表示为

式中 m1为圆盘质量，m2为浮筏及支座质量，e为偏心距，Ω为转速，k为弹簧刚度，d为切向和垂向阻尼，Fx和Fy分别为轴承的非线性油膜力。

1.2 非线性油膜力

船用柴油机主要采用滑动轴承支承，因此涉及到轴承油膜力的计算问题，轴承结构及受力如图2所示，其中xoy为定系。然而关于非线性油膜力作用下转子-轴承系统的动力学分析是一个十分复杂的流固耦合 问 题。国 内 外学 者［15-18］针 对 不 同 结 构形式滑动轴承的非线性油膜力进行了大量的研究，大部分油膜力模型都是在一定的假设条件下对雷诺方程求解得到。本文基于短轴承理论，即当轴承的长度与其直径的比值小得多时，油膜压力沿周向的变化率比沿轴线的变化率要小得多，即，也就是忽略其油膜压力梯度，因此油膜压力p所满足的Reynolds方程可表示为

图2 滑动轴承结构示意图Fig.2 Schematic diagram of journal bearing

式中 h=c+e cosθ，将油膜压力p沿轴承表面进行积分，即对式(2)积分两次，并认为在轴承的轴向泄油端油膜压力为0，即有边界条件p｜z=B/2=p｜z=-B/2=0，同时考虑到半Sommerfeld条件，可以得到非线性油膜力沿径向和切向两个方向的解析表达式，它们的无量纲形式分别为

将式(3)进行坐标变换，即投影到oxy平面内，可得出下式

式中 φ表示圆周方位角z轴承的轴向位置，p为油膜压力，h为轴承油膜厚度，c为油膜间隙，μ为润滑油膜黏度，B为轴承长度，λ为长颈比，e为偏心距，ε为轴颈偏心率，θ为轴颈的平衡位置。

1.3 无量纲运动方程

为了所研究问题具有普遍性和广泛的适用性，利用滑动轴承的特征长度，即轴承油膜间隙c，以及圆盘质量m1，对方程(1)进行无量纲化处理，相关的无量纲参数见表1所示，其中，R为轴承半径，σ为Sommerfeld数。

表1 无量纲参数表达式Tab.1 The expression of dimensionless parameter

式中 D为无量纲阻尼，K为无量纲刚度，ω为无量纲转速，α为无量纲偏心率，n为质量比，fx和fy分别为无量纲油膜力在x和y轴上的分量。

2 非线性动力学特性

式(5)是一个具有较强非线性特征的多自由度非自治系统，因此从理论上想得到方程的解析解或者近似解析表达式是十分困难。本文采用4-5阶龙格-库塔数值方法，通过计算系统的稳态响应、频谱响应、轴心轨迹、Poincaré映射以及最大Lyapunov指数等，分析系统的非线性动力学特性。

图3为系统参数σ=3，α=0.1，n=10，K=12，D=0.1，λ=0.2时，采用数值积分得到的位移随转速变化情况，即转速为ω=1.60→3.32时，稳态响应x1随转速变化的分岔图以及最大Lyapunov指数曲线。其中在低速运转时，转子的稳态响应表现与不平衡响应类似，例如，ω=1.60→2.12时，转子的振幅较小，此时系统的振动表现为单周期同步运动；随着转速的逐渐递增，当ω=2.12→2.81时，系统经过倍周期分叉过渡到周期2运动；当转速ω=2.81→3.00时，系统又回复到周期1运动；此后随着转速的进一步增加，在ω=3.02→3.10时，系统出现拟周期分岔；在高转速下，系统从拟周期进入混沌运动，其振幅也急剧增大，直至转子碰到轴瓦内壁。从中可以看出转子系统的运动表现出十分丰富的非线性动力学特性，其运动状态为周期1→周期2→周期1→拟周期→混沌。

图4为系统在转速ω=1.80时，稳态响应及其频谱图、轴心轨迹及其Poincaré映射图。从频谱图中可以看出，在低转速下，工频分量十分明显，此时系统的不平衡力对系统起主导作用，而系统的非线性因素的影响较小；从图4(c)可知，轴心轨迹为比较规则的“椭圆形”且运行轨迹是周期的；图4(d)表明在Poincaré截面上呈现出一个孤立的吸引子，系统响应表现为周期1，在该参数下所对应的Lyapunov指数为-0.003 29。

图3 转子系统稳态响应分岔图及最大Lyapunov指数(LLE)Fig.3 The steady state responses of the rotor system and its largest Lyapunove exponents

图5为转速ω=2.20时，系统的动力学特性。从频谱图中可以发现响应成分约以0.5倍频为主，此时以转子的半频涡动比较明显。从图5(c)可以看出轴心轨迹是一个褶曲闭合的轨迹“香蕉”形状，且其运动轨迹是周期的。另外，Poincaré截面上呈现出2个明显的孤立吸引子，其系统运动表现为周期2的动力学特性，其对应的Lyapunov指数为-0.000 61。

图6为转速ω=2.80时，系统的稳态响应及其频谱图、轴心轨迹及其Poincaré映射图。从图中可以看出频域表现为工频，此外在f/2，f，3f/2处有离散的谱峰；轴承轨迹表现为不规则封闭的“内8字”形，且其运动轨迹在某些位置处的曲率变化较大，运动轨迹仍是周期的；Poincaré映射为2个离散孤立的点集，表明系统为周期2运动，此时对应的Lyapunov指数为-0.002 40。

图7为在转速ω=3.02时，系统的动力学响应。从图中可以看出，与半倍频相比1倍频成分凸显；轴心轨迹被明显限制在一个椭球域内，此时Poincaré截面图上表现为一条闭合的曲线，系统对应的Lyapunov指数为-0.000 68，可以判断系统在该转速下作拟周期运动。

图4 ω=1.80时，转子系统的稳态响应Fig.4 The steady state response of rotor system whenω=1.80

图5 ω=2.20时，转子系统的稳态响应Fig.5 The steady state response of rotor system whenω=2.20

图6 ω=2.80时，转子系统的稳态响应Fig.6 The steady state response of rotor system whenω=2.80

图8为转速ω=3.085时，系统的稳态响应及其频谱图、轴心轨迹及其Poincaré映射图。从图中可以发现，1倍频十分明显，并且存在着半频的谐波分量，此时轴心轨迹被限制在一个较为混乱的椭球形域内作周期性振荡，Poincaré截面上映射点构成了一条封闭的曲线，其对应的Lyapunov指数为-0.000 41，此时系统在该转速下作拟周期运动。

图9为转速ω=3.20时，系统的动力学特性。从图中可以发现频谱图中存在着半倍频和1倍频的谐波分量，轴心轨迹被限制在一个较为混乱且近似椭球形域，其运动轨迹在某些位置处的曲率变化比较大，并且作复杂的非周期振荡；Poincaré截面上映射点构成了间隔离散的点集，此时系统对应Lyapunov指数为0.000 94，由此可以判定系统在该转速下处于混沌运动状态。

图7 ω=3.02时，转子系统的稳态响应Fig.7 The steady state response of rotor system whenω=3.02

图8 ω=3.085时，转子系统的稳态响应Fig.8 The steady state response of rotor system whenω=3.085

图9 ω=3.20时，转子系统的稳态响应Fig.9 The steady state response of rotor system whenω=3.20

3 结 论

主要研究了气囊-浮筏耦合的船用转子-轴承系统非线性动力学特性，基于短轴承理论，建立了系统的动力学模型，探讨了系统非线性动力学特性。结果表明：在较低转速下，不平衡力对转子系统的振动占据主导作用；随着转速的不断提高，非线性油膜力对系统振动的影响逐渐增大。在较低转速下，转子振动幅值较小，且以单周期同步运动为主；随着转速的递增，系统振动幅值逐渐增大并且伴有半频涡动，系统开始进入倍周期运动状态。随着转速的进一步继续增加，系统逐渐进入拟周期运动；在高转速下，系统逐渐进入混沌运动，同时振幅迅速增大，直至最后碰到轴承内圈。对于气囊-浮筏耦合的船用转子-轴承系统，在一定的转速范围之内表现出十分丰富的非线性动力学行为，其运动状态为周期1→周期2→周期1→拟周期→混沌。这些特性为气囊-浮筏耦合船用转子系统的振动控制及参数设计提供理论指导。

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Nonlinear dynamic behavior of marine rotor-rearing system coupled by air bag-floating

LI Ming1，ZHAO Wen1，HE Lin2
(1.Department of Mechanics，Xi'an University of Science and Technology，Xi'an 710054，China；2.Institute of Noise&Vibration，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

Adynamic model of marine rotor-bearing system coupled by the air bag and floating is developed and its nonlinear dynamic characteristics are mainly discussed in this paper.First，on the basic assumption theory of short bearing，the dynamic model of rotor-bearing system coupled with air-floating is developed and its nonlinear dynamic behaviors are mainly analyzed by numerical method，such as the steady-state response，rotor orbit，Poincarémap，bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent(LLE)，etc.The results indicate that the steady state responses are the synchronous motion at the lower speeds，with increasing the speed it reveals the complex nonlinear dynamic phenomena，such as period two，quasi-period and chaotic motions.Above all the dynamic characteristics can provide the theoretic supporting for the vibration control and its optimizing parametric optimization of the marine rotor-bearing system coupled by air bag-floating.

air bag-floating；marine rotor system；short bearing；nonlinear vibration；dynamic characteristics

O322

A

1004-4523(2015)04-0618-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.015

李明(1963—)男，博士生导师，教授。电话：13572980962；E-mail：limingnuaa@hotmail.com

赵文(1989—)男，硕士研究生。电话：15102981751；E-mail：zhaowenwinner@163.com

2014-09-19；

2015-01-09

国家自然科学基金资助项目(11372245)；陕西省自然科学基金资助项目(2014JM1015)