基于自适应最稀疏时频分析的结构损伤检测方法

杨 斌，程军圣

(湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，湖南 长沙410082)

基于自适应最稀疏时频分析的结构损伤检测方法

杨 斌，程军圣

(湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，湖南 长沙410082)

研究了一种新的自适应时频分析方法——自适应最稀疏时频分析(ASTFA)方法，并将其运用于结构振动响应分析，提出了基于ASTFA的结构损伤检测方法。ASTFA方法在EMD方法和压缩感知的基础上，建立包含所有IMF分量的过完备字典，通过寻找原信号的最稀疏表示，将信号分解问题转化为非线性优化问题，在目标优化的过程中实现信号的自适应分解，并直接得到各个分量的瞬时频率和瞬时幅值。在介绍ASTFA的基础上，对ASTFA和EMD进行了对比，结果表明了ASTFA方法的优越性。利用ASTFA方法识别了结构的模态参数，提出了基于分量信号瞬时频率和瞬时能量的损伤指标，对结构损伤进行了检测。对实际信号的分析结果表明，ASTFA方法可以有效地应用于结构损伤检测。

结构损伤；自适应最稀疏时频分析；模态参数识别；瞬时频率；瞬时能量

引 言

传统的结构损伤检测方法主要通过对比损伤前后结构参数的变化对结构工作状态进行判断，但这类方法不适用于激励未知的情况，且无法用于结构响应为非平稳信号情况下的损伤检测。通过应用现代信号方法，直接对结构振动响应进行分析，提取损伤敏感参数，可以对激励未知情况下的结构损伤进行检测，有效克服传统损伤检测方法的不足。目前广泛应用于结构振动响应分析和损伤检测中的是自适应信号分解方法，典型方法如经验模态分解(Empirical mode decomposition，EMD)、局部均值分解(Local mean decomposition，LMD)等。Xu［1］等利用EMD方法识别损伤引起的刚度变化，对剪切建筑结构的损伤发生时间和损伤位置进行了检测。Chen［2］等对机翼翼盒结构的振动响应进行EMD分解，提出了基于第一个内禀模态函数(Intrinsic mode functions，IMF)分量的瞬时能量为损伤指标的损伤检测方法。Li［3］等进一步结合EMD方法和小波分析方法，首先对振动响应进行EMD分解，然后利用小波分析对IMF分量进行分析，对结构的损伤位置和损 伤 程度 进 行了 检 测。程军 圣［4］等 将LMD方法应用到齿轮损伤模式识别中，对齿轮实验振动信号进行了分析。EMD和LMD都属于非参数化自适应信号分解方法，都是基于信号极值点的局部特征尺度参数，通过多次迭代获得瞬时频率具有物理意义的单分量信号。因此都具有一些共同的不足，如端点效应、模态混淆以及所得到的单分量信号是否具有物理意义缺乏严格的数学证明等问题。

THOMAS Y HOU在EMD方法和压缩感知的基础上，提出了一种自适应最稀疏时频分析(A-daptive and sparsest time-frequency analysis，简称ASTFA)方法［5］。该算法的主要特点为，在EMD的基础上，建立包含所有IMF分量的过完备字典，通过寻找原信号的最稀疏表示，将信号分解问题转化为非线性优化问题。在求解优化问题的过程中，采用傅里叶变化求解最小二乘问题，能快速有效地得到分解结果。该方法通过优化算法求解分量信号，具有严格的数学基础；在目标优化的过程中实现信号的自适应分解，并直接得到各个分量的瞬时频率和瞬时幅值。本文在介绍ASTFA方法的基础上，研究了ASTFA方法在结构振动响应分析中的应用，将ASTFA方法与EMD方法进行了对比。同时，将ASTFA方法应用到结构损伤检测中，通过ASTFA方法分解得到的IMF分量识别结构模态参数，识别损伤前后结构模态参数的变化，并利用分量信号计算损伤指标，对结构损伤进行了检测。对实际信号的分析结果表明，ASTFA方法可以有效地应用于结构损伤检测。

1 自适应最稀疏时频分析方法

1.1 过完备字典的建立

对于信号s(t)，可以通过EMD方法分解为N个IMF分量

定义包含所有IMF分量的过完备字典［6］

设V(θ)为包含所有a(t)的集合

式中 λ≤1/2，n=(θ(1)-θ(0))/(2π)，通过λ可以控制V(θ)的平滑度。

综上可知，过完备字典定义为

由于D为过完备字典，因此通过该字典对信号进行分解的结果并不唯一，可以得到多种分解结果。为了从这些分解结果中找到最优的分解过程，结合稀疏分解的思想，以得到的分量最少为目标，转化为最优化问题。

1.2 最优化问题

为了从过完备字典中找到信号的最稀疏表示，以分解得到的分量最少为优化目标，定义如下非线性优化问题：

稀疏信号分解可以通过匹配追踪、基追踪、框架方法、最佳正交基方法等算法进行求解［7］。其中，匹配追踪方法最为常用。匹配追踪方法在迭代过程中，通过将残余信号向过完备字典库投影，得到信号的最佳稀疏表示。计算步骤如下：

1)令初始残差r0等于原函数f(t)，r0=f(t)；

2)求解以下非线性最小二乘问题：

3)更新残差：rk=f(t)

4)如果‖rk‖2＜ξ0，迭代终止，否则返回1)。

在上述优化问题中，需要步骤2)中的非线性最小二乘问题进行求解，这里采用高斯-牛顿法进行计算，计算步骤如下：

1)选择θk(0)=θ(0)；

2)求解以下最小二乘问题：

其中，λ∈［0，1］，保证θn+1k为单调增加，定义

4)若‖θn+1k-θnk‖2＜ξ0，迭代终止，否则返回1)。

由式(7)可知，每次迭代中都需要求解该最小二乘问题，当数据量较大时，计算耗费的时间很长。

由于在每个迭代步中，都要求解最小二乘问题以获得系数an+1k和bn+1k，在数据长度较大时，计算所耗费的时间很长。引入一种基于快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，简称FFT)的算法［6］，可以快速有效地求解得到系数an+1k和bn+1k。

基于快速傅里叶变化的迭代算法计算步骤下：1)选择初值θ0k=θ0。

2)将r(t)通过插值变换到θn坐标，得到rθn(θnj)

其中，θnj，j=1，…，N为θn坐标的坐标系。

3)通过快速傅里叶变化求得θn坐标下的系数：

如上所述，χ(k)为一低通滤波器，该滤波器的特性主要由V(t)决定。本文定义χ(k)为如下形式

4)将an+1(θn)和bn+1(θn)插值回原坐标：

5)更新θn(t)

其中，λ∈［0，1］，保证θn+1k为单调增加。

6)若‖θn+1k-θnk‖2＜ξ0，迭代终止，得到第一个IMF分量。否则返回1)。

2 基于自适应最稀疏时频分析方法的损伤特征提取方法

多自由度系统的运动方程为：

式中 M，C，K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；x(t)和F(t)分别位移和激振力。

由模态理论可知，当激励位置为j时，系统在测点i处的响应可以表示为各阶模态响应的叠加

结合ASTFA方法，可以自适应的将多自由度振动信号分解为一系列单模态信号，并可以在求解分量信号的过程中直接求得分量信号的瞬时频率f(t)和瞬时幅值a(t)。结合式(18)，有

由式(21)和式(22)可知，瞬时相位θ(t)直线方程的斜率对应为阻尼固有频率ωd，而通过对数-瞬时幅值方程可以求得ξωn，进而可以求得模态参数ωn和ξ。

由式(18)可知，结构响应与模态参数紧密相关，在同一激励下，损伤带来的结构参数变化会引起结构振动响应的改变。因此，可以通过结构振动响应提取损伤指标，对结构损伤进行检测。但不同的损伤模式对结构响应的影响程度不同，如刚度减少的损伤引起的振动响应改变通常表现为低频模态响应的改变，而裂纹闭合引起的振动响应的变化通常表现在高频范围。在实际应用中，大多无法事先对结构的损伤模式进行预测或者初步判断，因此有必要对基于振动响应的损伤特征提取方法进行研究，提取有效的损伤指标。

通过ASTFA方法分解得到的IMF分量提取损伤指标。利用ASTFA方法可以将结构振动响应分解为一系列单模态响应，这里定义分量信号的瞬时频率和瞬时能量之和作为损伤指标

式中 f(t)为分量信号的瞬时频率，a(t)为分量信号的瞬时幅值，可以通过ASTFA方法直接获得。该损伤指标从信号的振动频率和振动能量出发，描述了系统的振动特性。不同的损伤类型对各IMF分量的影响程度不同，因此需要选择合适的IMF分量。通过余弦相似度来描述向量之间的相似性，向量A和B之间的余弦相似度定义如下，

根据式(24)计算损伤前后各IMF分量之间的相关性，选择相关性最小的IMF分量，计算损伤指标。

3 仿真信号分析

ASTFA方法在EMD方法的基础上，选择IMF分量作为基函数，通过优化方法获取IMF分量。既与EMD方法紧密联系，又与其存在本质区别。

为了对比ASTFA方法与EMD方法的分解能力，取四自由度系统的脉冲响应进行数值仿真。系统参数为：A(1)=5，A(2)=20，A(3)=10，A(4)=15；ξ(1)=0.023 3，ξ(2)=0.018 0，ξ(3)=0.004 2，ξ(4)=0.010 9；ω(1)n=15.004 1，ω(2)n=30.004 9，ω(3)n=45.000 4，ω(4)n=60.003 5；θ(1)=0，θ(2)=0，θ(3)=0，θ(4)=0。其时域波形如图1所示。

在不对端点进行处理的情况下，分别采用ASTFA方法和EMD方法对仿真响应信号进行分析。ASTFA方法可以将仿真信号有效地分解为4个具有物理意义的IMF分量，分解结果如图2所示。而EMD方法分解得到的结果存在较为明显的模态混淆现象，分解结果如图3所示。这主要是由于EMD方法缺乏严格的数学推导过程，随着信号分量的增加，迭代过程中容易受到上下包络精度及噪声等的影响，分解得到的IMF分量会出现同一频率成分被分解到相邻的IMF中。

图1 仿真信号Fig.1 The simulation signal x(t)

图2 仿真信号的ASTFA分解结果Fig.2 The decomposed signal of x(t)using ASTFA

为了进一步对比ASTFA方法和EMD方法分解结果，分别计算各IMF分量与理论值之间的相似性和能量变化率。通过余弦相似度来描述IMF分量与理论值之间的相似性，并进一步定义能量变化率为

计算结果如表1所示。由表1可知，ASTFA方法的分解结果与理论值存在较为理想的相关性，能量变化率由于端点效应的影响，存在较为明显的偏差，但仍在正常范围内。而EMD方法分解得到的分量与理论值的相关性较差，且能量变化率更为明显，与原信号存在较大的偏差。

图3 仿真信号x(t)的EMD分解结果Fig.3 The decomposed signal of x(t)using EMD

表1 ASTFA方法与EMD方法分解结果对比Tab.1 The comparison of the decomposing results between the ASTFAand the EMD

由分解结果可知，ASTFA方法分解得到的IMF分量存在端点效应。为了得到更准确的IMF分量，以便对模态参数进行精确的识别，对仿真信号进行了镜像延拓，采用ASTFA方法的分解结果如图4所示。分解得到的各IMF分量的瞬时幅值和瞬时频率也在分解过程中直接得到，如图5和6所示。

对镜像延拓后的信号进行EMD分解，得到的IMF分量如图7所示。进一步对EMD分解后得到的IMF分量进行Hilbert变换，计算得到瞬时幅值和瞬时频率，结果如图8和9所示。

如图所示，ASTFA方法分解结果较为理想，得到的瞬时幅值曲线光滑，且较为准确地反映了原信号的特性，瞬时幅值也较为准确地反映了结构的振动特性。而EMD方法的分解结果不准确，瞬时幅值出现了较为明显的偏差和波动，而且瞬时频率也不能准确地反映结构特性。

由上可知，ASTFA方法在对结构振动响应进行分析时，要优于EMD方法。主要表现在：

图4 镜像延拓后的ASTFA分解结果Fig.4 The decomposed signal using ASTFAafter the mirror extension

图5 镜像延拓后由ASTFA方法得到的各IMF分量的瞬时幅值Fig.5 The instantaneous amplitude of the IMFs using ASTFAafter the mirror extension

1)ASTFA方法具有严格的数学基础，在目标优化的过程中实现信号的自适应分解，能准确地得到分量信号，避免了模态混淆。

2)ASTFA方法在求解非线性问题的过程中，能直接得到分量信号的瞬时幅值和瞬时频率，不需要对分量信号进行Hilbert变换，避免了Hilbert变换带来的边缘误差及负频率等问题。

结合式(21)和式(22)利用ASTFA方法分解得到的IMF分量识别结构的模态参数，如表2所示。

图6 镜像延拓后由ASTFA方法得到的各IMF分量的瞬时频率Fig.6 The instantaneous frequency of the IMFs using ASTFAafter the mirror extension

图7 镜像延拓后由EMD方法的分解结果Fig.7 The decomposed signal using EMD after the mirror extension

表2 模态参数识别结果Tab.2 The estimation results of modal parameters

图8 镜像延拓后由EMD方法得到的各IMF分量的瞬时幅值Fig.8 The instantaneous amplitude of the IMFs using EMD after the mirror extension

图9 镜像延拓后由EMD方法得到的各IMF分量的瞬时频率Fig.9 The instantaneous frequency of the IMFs using EMD after the mirror extension

4 实验验证

4.1 IASC-ASCE结构健康监测基准算例

该基准结构由IASC-ASCE提出［8］，在结构损伤识别方法研究中得到广泛应用［9，10］。该结构分为4层，为2×2跨的钢框架缩尺模型，模型平面尺寸为2.5 m×2.5 m，每层高度为0.9 m，每层连接可以自由拆卸的8根斜支撑。该结构的有限元模型如图10所示，采用12自由度的有限元模型获取结构振动响应，该模型保留每层中心节点的两个平动自由度(x，y)和一个转动自由度θz。考虑两种损伤模式：1)去掉第一层所有斜支撑；2)去掉第一层和第三层所有斜支撑。为了获取结构在不同工作状态下的振动响应，对结构施加白噪声激励，激励位置为顶板中心，采样频率设置为1 000 Hz，时长为100 s。

图10 ASCE Benchmark结构有限元模型Fig.10 The FEMmodel of the ASCE Benchmark structure

由自然激励技术(Natural Excitation Technique，NEx T)原理可知，白噪声激励下结构的互相关函数与脉冲响应函数具有相同的形式［11］，而通常互相关函数可由互功率谱函数进行反傅里叶变换可求得。选择参考点为第四层的节点43，计算其与第一层节点12的互功率谱。如图11所示为互功率谱及响应的互相关函数。

求得的互相关函数即为结构在节点12处的脉冲响应函数，应用ASTFA方法将其分解为一系列的IMF分量，并根据式(21)和式(22)求解结构的模态参数，结果如表3和图12所示。由图12可知，不同损伤模式下计算得到的固有频率不同，且随着损伤程度的增加，固有频率逐渐减小。

利用ASTFA方法对振动响应进行分解，根据式(23)计算损伤指标，结果如图13所示。由图13可知，各IMF分量所计算得到的损伤指标对损伤的敏感程度不同，因此需要选择合适的IMF分量，才能保证损伤检测的准确性。根据式(24)计算损伤前后各IMF分量之间的相关性，选择相关性最小的IMF分量，计算损伤指标。这里选择第二个分量信号IMF2，结果如图14所示。由图14可知，通过选择ASTFA方法获得的IMF分量，选择合适的IMF分量计算损伤指标，可以有效对结构的工作状态进行判断。

图11 正常状态下结构的互功率谱和互相关函数Fig.11 The cross power spectrum and the cross correlation function of the structure under normal condition

图12 结构在不同工作状态下的模态参数Fig.12 The modal parameters of the structure under different conditions

表3 ASCE Benchmark结构在不同工作状态下的模态参数Tab.3 The modal parameters of the ASCE Benchmark structure under different conditions

图13 ASTFA方法分解后各IMF分量的损伤指标Fig.13 The damage index of each IMFusing ASTFA

图14 ASTFA方法分解后IMF2分量的损伤指标Fig.14 The damage index of IMF2using ASTFA

4.2 自由梁实验

实验对不同损伤类型的自由梁进行锤击测试，采集振动加速度信号。实验中对梁两端通过弹簧进行吊装，来模拟垂直方向的自由状态，如图15所示。自由梁结构示意图如图16所示，自由梁尺寸为(1 300×30×30 mm3)，共安装7个振动加速度传感器，编号从左到右分别为①～⑦，锤击位置为A。通过LMS SCADAS数据采集前端进行测试，实验中设置采样频率为2 048 Hz，采样时间为8 s。通过对自由梁不同位置切割槽来模拟损伤，损伤设置如表4所示，其中损伤模式D2为在自由梁设置2个不同位置的损伤。

图15 自由梁实验Fig.15 The free beam experiment

图16 自由梁结构实验示意图(单位：mm)Fig.16 The free beam structure(Unit：mm)

表4 3种结构工作状态Tab.4 The three different working conditions of the beam

对自由梁各点的振动响应进行ASTFA分析，如图17所示为正常状态下测点1处的IMF分量。进一步利用式(21)和式(22)对不同损伤状态下的结构模态参数进行识别，并与LMS Test.Lab中的最小二乘复指数法(Least Square Complex Exponential method，LSCE)方法的模态参数识别结果进行了对比，结果如表5所示。由表5可知，通过ASTFA方法可以准确地将振动响应分解为单模态响应，得到准确的固有频率值；而阻尼比的辨识结果受到实验中的噪声以及测试误差的影响，辨识结果准确度有所下降，辨识精度仍需提高。

通过图18可以对比不同损伤类型下结构的固有频率的变化情况。可知当结构存在不同模式的损伤时，其模态参数发生了较为明显的变化，随着损伤程度的增加，固有频率逐渐减小。

对测点1处的不同损伤类型下的振动响应通过ASTFA方法进行分解，根据式(24)计算损伤前后各IMF分量之间的相关性，选择相关性最小的IMF分量，根据式(23)计算损伤指标，结果如图19。由图19可知，通过ASTFA方法获得结构响应的分量信号，进一步选择合适的IMF分量计算损伤指标，可以有效地对结构损伤进行检测。

图17 正常状态下测点1处分解得到的IMF分量Fig.17 The obtained IMFs of sensor 1 under normal condition

图18 自由梁结构在不同工作状态下的模态参数Fig.18 The modal parameters of the free beam under different working conditions

表5 自由梁结构在不同工作状态下的模态参数Tab.5 The modal parameters of the free beam under different working conditions

图19 ASTFA方法分解后IMF2分量的损伤指标Fig19 The damage index of IMF2using ASTFA

5 结 论

自适应最稀疏时频分析方法为一种新颖的时频分析方法，其主要特点在于通过优化算法求解分量信号，具有严格的数学基础；在目标优化的过程中实现信号的自适应分解，并直接得到各个分量的瞬时频率和瞬时幅值。该方法在EMD方法的基础上建立过完备字典，通过寻找原信号的最稀疏表示，将信号分解问题转化为非线性优化问题。这也从根本上克服了EMD方法的模态混淆及过包络等问题，通过仿真信号的分析也表明ASTFA方法的分解结果要优于EMD方法。同时，ASTFA方法在计算过程中需要对最小二乘问题进行求解，往往耗费大量的计算时间，虽然现有方法通过FFT算法可以有效提高计算效率，但基于FFT方法的ASTFA方法适合处理周期信号，在处理非周期信号时较难收敛，且容易产生计算误差。此外，ASTFA方法存在较为明显的端点效应，对计算精度产生影响，这些都需要在以后的研究中加以克服。

通过ASTFA方法可以将结构振动信号分解为单模态响应，从而准确地识别结构的模态参数，并提取损伤参数，可以应用于结构损伤检测。通过对ASCE Benchmark结构及自由梁实验结构的分析，可知通过ASTFA方法可以有效对结构的工作状态进行检测。同时，本文提出的方法能对结构的损伤进行检测，但无法进一步对结构的损伤位置及损伤程度进行识别。因此，有必要在ASTFA方法的基础上，提出新的有效的损伤指标，进一步对微小损伤以及结构的损伤位置进行识别，这也是将来需要进一步研究的内容。

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The damage detection method base on the adaptive and sparsest time-frequency analysis

YANG Bin，CHENG Jun-sheng
(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body，Hunan University，Changsha 410082，China)

Aself-adaptive time-frequency analysis method—the adaptive and sparsest time-frequency analysis(ASTFA)and its application to damage detection are studied in the paper.Based on the Empirical Mode Decomposition(EMD)and the compressed sensing theory，the ASTFAmethod translates the signal processing method into a non-linear optimization problem by looking for the sparest decomposition of the signal in the largest possible dictionary consisting of intrinsic mode functions.The adaptive decomposition of the original signal can be obtained through the solution of the optimization problem，and the instantaneous frequency and the instantaneous amplitude can be obtained directly.Then，an comparison is made between the ASTFAmethod and the EMD method to show the superiority of the ASTFA.The modal parameters are estimated and a damage index is proposed based on the instantaneous frequency and the instantaneous energy.The analysis results of the experiments show that the ASTFAmethod can be applied to the structural damage detection.

structural damage detection；the adaptive and sparsest time-frequency analysis；modal parameter estimation；instantaneous frequency；instantaneous energy

O346.5

A

1004-4523(2015)04-0640-10

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.018

杨斌(1987—)，男，博士研究生。电话：15111364608；E-mail：yspark@163.com

2014-04-01；

2015-05-06

国家自然科学基金资助项目(51375152)