《几何画板》在圆锥曲线教学中的应用

刘书林

【摘 要】 职中生的抽象思维能力和空间思维能力是比较薄弱的，在学习平面几何时，图形想象能力需要建立在大量的图形认知经验的积累上，如果单靠手工作图是比较耗时的。利用几何画板可以快速、准确且动态地向学生展示几何图形，帮助学生理解概念和题意，从而收到较好的教学效果。

【关键词】数形结合;直观形象;方便快捷

在职业中学的数学课堂上，我们面临的是在初中甚至从小学开始就逐渐跟不上教学进度的学生。不要说逻辑思维能力、空间想象能力，就连最简单的数学运算能力都是他们所欠缺的。华罗庚说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”在教学过程中，学生需要更为形象直观地认知数学规律，掌握数学知识，而传统的粉笔加尺规工具作图，已经难以满足他们的要求。

当前计算机技术的发展为我们解决了这一难题——从国外引进的教育软件《几何画板》以其入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图像功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。在教学中引用该软件，会使一些需要结合图形图像的内容学习起来更加容易。我以《圆锥曲线》这一章为例，展示一下《几何画板》给教学和学习带来的便利。

圆锥曲线中，学生首先接触的是椭圆的第一定义：平面内，与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。单从定义上看，学生可能想象不到这个轨迹为什么会是一个椭圆呢？我们可以通过制作动画演示画椭圆的过程，也可以通过看图验证得到，而后者更加方便快捷。在《几何画板》中，选择“圆锥曲线A-椭圆（焦点+点）”功能，作任意椭圆一个。标注两个焦点F1、F2，在椭圆上任选一点P，度量点P到点F1、F2的距离，并求和。当拖动点P在椭圆上运动时，发现|PF1|+|PF2|是一个常数（后面的学习中还会知道这个常数是2a），并不随点P的运动而变动，如图一。通过观察这个图像，学生很快理解了椭圆的定义，并能够牢固地记住椭圆的这个特点。

（注：图一是点P运动到椭圆上两个不同位置时度量该点到两焦点的距离，并求和。）

相同的方法，学生可以理解双曲线和抛物线的第一定义，并在理解的基础上准确记忆定义，在解决和圆锥曲线第一定义有关的题目时，答题正确率有明显提高。如：

1.一动点到两定点A（0，4）、B（0，-4）的距离之和为10，则它的轨迹方程为      。

2. 椭圆=1上一点P到一个焦点的距离为11，则P到另一个焦点的距离为     。

3.已知F1、F2是椭圆=1的两个焦点，过F2的直线与椭圆交于M、N两点，求△MNF1的周长。

4.双曲线1上任一点P到此双曲线距离较近的一个焦点的距离是12， 则点P到另一个焦点的距离是   。

5.抛物线y2=6x上一点A到焦点的距离为3，求点A到准线的距离，并求点A的横坐标。

以上题目都是对圆锥曲线第一定义直接或者间接的考察。在讲解时，可以通过几何画板作图让学生观察。有了大量的图形观察经验积累之后，学生能够把圆锥曲线的定义转化为动态的图形存储在大脑中，遇到相关题目时，可以在脑海中构建出图形，或者很快画出草图，并正确解答出来。

除了第一定义外，圆锥曲线的第二定义也是比较抽象，难以理解的。如椭圆的第二定义：平面内，与一个定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e（0<e<1）的点的轨迹叫做椭圆。定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做与该焦点对应的准线（一个椭圆有两个焦点和两条准线）。常数e叫做椭圆的离心率。学生读完定义后感觉不知所云，不明白为什么这样的轨迹就是一个椭圆。我们一样可以通过图形验证理解定义。作椭圆=1（如图二），标出焦点F1、F2，并作两条准线。在椭圆上选一动点P，当点P在椭圆上运动时，点P到左焦点的距离|PF1|和到左准线的距离|PN|是变动的，但二者的比值是不变的，而且恰好等于该椭圆的离心率e，即0.8。点P到右焦点F2的距离|PF2|和到右准线的距离|PN|也满足这个特点。

（注：图二是点P在椭圆上两个不同位置时度量该点到两焦点和两准线的距离，并计算到焦点和到相应准线距离的比值。）

几何画板的演示让第二定义变得不那么抽象，容易理解了。在遇到和第二定义相关的题目时，学生可以通过回忆图像和定义解答问题。如：

当然，有的题目把圆锥曲线的第一、第二定义结合起来考察，那么观察图形的经验积累就显得更加重要了。如：1（上一点P到左焦点距离是12，它到椭圆右准线的距离是    。

从近几年的教学经验来看，在讲解圆锥曲线时，使用几何画板会使得三种圆锥曲线的定义讲解得更加清晰，学生接受起来也更加轻松，不容易遗忘，解答题目时会想到用这些相应的知识。由此可见，课堂中引入几何画板，会使本来抽象不容易理解的概念、需要图形想象能力的知识接受起来更加容易。当然学习中不需要每次都用几何画板，这样又显得有些繁琐，主要是在学习一个新知识点的初期运用几何画板帮助学生理解概念，建立直观形象的图形印象，这会使得后面的学习变得轻松很多。

当然，这里只是使用了《几何画板》中一些最基本、最简单的功能，这也只是我初步尝试在课堂使用该软件的小小收获，愿意和大家一起分享。

（作者单位：东莞市商业学校）