导数在不等式证明中的应用

刘成明

摘要：江苏省普通高中数学课程标准教学要求中明确指出要能利用导数研究函数的单调性，而利用导数研究函数单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式证明中的一个难点。解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性及最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

关键词：函数；导数；不等式；单调性

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）09-093-2

在江苏省新课标中新增加了正余弦函数、指对数函数等初等函数的导数，因此考察的知识面加宽了很多，例如导数可以和数列、三角、向量、不等式、解析几何等内容相互交融，进而衍生出很多综合性的题目.在这里，笔者对导数与不等式相结合的问题进行了探究：

一、直接作差构造函数证明

例1已知定义在正实数集上的函数f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a>0.设两曲线f（x），g（x）有公共点，且在该点处的切线相同.

（1）用a表示b，并求b的最大值；

（2）求证：f（x）≥g（x）（x>0）.

解析：（1）公共点为（a，52a2），b=52a2-3a2lna（具体略）

（2）设F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2lnx-b（x>0）

则F′（x）=x+2a-3a2x=（x-a）（x+3a）x（x>0）.

故F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数.

于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=0.

故当x>0时，有f（x）-g（x）≥0，即x>0时，有f（x）≥g（x）.

本题求证的是f（x）≥g（x）（x>0），因此只需证明f（x）-g（x）≥0在x>0上恒成立即可，令F（x）=f（x）-g（x），然后利用导数研究新的函数F（x）的单调性，求出最值，进而证明出原命题成立.

二、导数是函数所特有的，没有函数就构造函数

例2证明对任意的正整数n，不等式ln（1n+1）>1n2-1n3恒成立.

证明：令函数h（x）=x3-x2+ln（x+1），

则h′（x）=3x2-2x+1x+1=3x3+（x-1）2x+1

所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）>0，所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，又h（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）>h（0）=0，即ln（x+1）>x2-x3恒成立，对任意正整数n，取x=1n∈（0，+∞），则有ln（1n+1）>1n2-1n3，

所以结论成立.

本题的核心部分是构造新函数h（x）=x3-x2+ln（x+1），取x=1n∈（0，+∞），把本是定义在正整数集上的不等式转化为定义在（0，+∞）上这一连续区间上的函数进行研究.从这一题我们便自然而然有了这样的想法：数列问题中的不等式是不是有的也可以触类旁通的去解决呢？请看下一题：

三、数列也是一类特殊的函数

例3已知分别以d1和d2为公差的等差数列{an}和{bn}满足a1=18，b14=36，

（1）若d1=18，且存在正整数m，使得a2m=bm+14-45，求证：d2>108；

（2）若ak=bk=0，且数列a1，a2，…，ak，bk，bk+1，…，b14的前n项和Sn满足S14=2Sk，求数列{an}和{bn}的通项公式；

（3）在（2）的条件下，令cn=aan，dn=abn，a>0，且a≠1，问不等式cndn+1≤cn+dn是否对一切正整数n恒成立？请说明理由.

解析：（1）、（2）略

（3）证明：由（2）知an=-2n+20，bn=9n-90，

令f（n）=（cn-1）（dn-1）=（a9n-90-1）（a20-2n-1）

再次换元将n-10换成x，则x∈[-9，+∞），

令g（x）=（a9x-1）（a-2x-1）=a7x-a9x-a-2x+1

所以g′（x）=7a7xlna-9a9xlna+2a-2xlna

=7a7xlna（1-a2x）+2a-2xlna（1-a11x）

当a>1时，lna>0，a7x>0，a-2x>0

当x∈[-9，0]时，1-a2x≥0，1-a11x≥0，此时g′（x）≥0，函数y=g（x）单调递增；

当x∈（0，+∞]时，1-a2x<0，1-a11x<0，此时g′（x）<0，函数y=g（x）单调递减；

所以当x∈[-9，+∞）时，g（x）max=g（0）=0，

即：x∈[-9，+∞）时，g（x）≤0恒成立，即f（n）=（cn-1）（dn-1）≤0恒成立，

即：cndn+1≤cn+dn对一切正整数n恒成立，

同理当0本题的做法是把n-10换成x，从而构造了一个特殊的函数g（x）=（a9x-1）（a-2x-1），这种做法不易想到，但是数列可以看做是一种特殊的函数，因此用函数的思想解决数列问题理所当然，用导数解决数列中的不等式问题也就在情理之中了.

四、主元思想构造函数

例4已知函数f（x）=12x2-2x，g（x）=logax（a>0，a≠1）.如果h（x）=f（x）+g（x）是增函数，且h′（x）存在零点（h′（x）为h（x）的导函数）.

（1）求a的值；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1证明：x1