基于三维轴距的图像去噪算法

黄光亚曾水玲 张书真 邓小飞 徐 倩

(吉首大学信息科学与工程学院 吉首 416000)

基于三维轴距的图像去噪算法

黄光亚*曾水玲 张书真 邓小飞 徐 倩

(吉首大学信息科学与工程学院 吉首 416000)

图像去噪是图像处理邻域的重要课题，该文在3维直方图的基础上定义图像的3维轴距，分析无噪声及椒盐噪声影响下图像3维轴距的分布特点，提出基于3维轴距的去噪算法。算法首先对图像进行边沿扩展，再利用3维轴距来检测噪声，最后用非噪声中值滤波来消除噪声。仿真比较了3维轴距去噪算法与中值滤波、自适应开关中值、快速自适应均值滤波、修正方向加权中值滤波和自适应模糊开关中值滤波算法的去噪性能，结果证明该文算法的有效性。

图像处理；图像去噪；椒盐噪声；3维直方图

1 引言

图像在生成、存储和传输过程中不可避免地受到噪声的干扰，使得图像质量下降，对后续边缘检测、图像分割、压缩和图像理解等造成严重的影响。椒盐噪声是冲击噪声的一种，易产生于数字图像的生成和存储过程中[1]。中值滤波是去除椒盐噪声的一种简单而有效的算法，但算法会造成图像边缘模糊，并且在大噪声下算法失效[2]。在传统中值滤波算法基础上提出的开关中值滤波算法[3,4]利用阈值划分噪声和非噪声点，对噪声点进行中值滤波而非噪声点不变能有效地避免传统中值滤波带来的图像模糊问题。在开关中值思想的基础上涌现出大量改进算法：针对传统开关中值滤波算法采用固定窗函数时存在小滤波窗口在大噪声密度下算法失效，大滤波窗口在小信噪比下图像模糊的问题，文献[5,6]是一类根据噪声密度调整滤波窗口大小的自适应开关滤波算法，文献[5]通过计算滑动窗内局部阈值来检测噪声，在阈值选取上具有局部噪声自适应的特点；文献[6]根据估计的噪声密度调整滤波窗口大小；该类算法均具有噪声的自适应特性，但都存在图像边沿噪声问题，且当大噪声在图像上形成块状噪声时，算法的去噪效果变差。针对传统开关中值滤波算法存在的图像边缘模糊问题，方向加权中值滤波类算法是一类保护图像边缘的滤波算法，算法采用方向加权卷积检测和滤除噪声，文献[7,8]中采用4方向加权滤波方法，文献[9]采用12方向加权滤波方法，算法在去除噪声的同时具有保护图像边缘的特点，但算法均采用较大滤波窗口，图像边沿噪声问题突出，在小噪声下算法整体效果不佳。与传统中值滤波不同，在如何修正噪声点问题上模糊开关中值滤波算法[10-12]是一类采用模糊理论来修正噪声的方法，文献[10]将模糊理论与自适应滤波方法相结合具有噪声自适应特性；文献[11]将模糊理论与邻域非噪声中值滤波方法相结合算法能消除领域窗内噪声的影响，在大噪声下算法改善较明显；文献[12]将模糊理论与加权中值滤波方法相结合使算法具有边缘保护的特点，该类算法在大噪声下均具有较好的效果，但算法均存在图像边沿噪声的问题，使整体去噪效果下降。

随着计算机运算能力的提高，基于3维直方图的图像处理算法得到广泛的关注[13-15]。基于3维直方图的算法综合考虑像素点的灰度、邻域均值、邻域中值及相互间的关系，能获得较好的处理效果，但基于3维直方图的算法存在运算量大的缺点。

本文在3维直方图的基础上，定义了像素的3维轴线距离(简称3维轴距)及其概率分布，根据图像3维轴距的分布特点，研究了椒盐噪声对图像3维直方图的影响，针对椒盐噪声的处理提出了基于3维轴距的去噪算法(简称轴距去噪)。

2 3维轴距及其概率分布

2.1 3维直方图的空间分布

3维直方图是以图像灰度、邻域均值和邻域中值联合而构成，对于高宽为M×N的数字图像，用f(i,j)表示(i,j)处像素点的灰度值，用g(i,j)表示(i,j)处模板为k×k 的邻域均值，定义为

用h(i,j)表示(i,j)处模板为k×k的邻域中值，定义为

其中med代表中值运算。从g(i,j)和h(i,j)的定义可知，如果图像的灰度级为L，那么相应的像素的邻域均值和邻域中值的灰度级也为L，根据3维直方图[14]的定义，将f(i,j), g(i,j)和h(i,j)构成的三元组(x,y,z)定义为3维直方图的空间分布，即在3维坐标系中x轴表示图像像素的灰度值f(i,j), y轴表示图像邻域均值g(i,j)和z轴表示图像邻域中值h(i,j)。

2.2 3维轴距及其概率分布

文中以8 bit整型数据保存的图像作为研究对象，其灰度值分布范围为[0 255]，称由(0,0,0)到(255,255,255)的对角线为图像分布的中轴线。定义3维直方图中的点(x,y,z)到轴线的距离d为像素点f(i,j)的3维轴线距离，简称3维轴距，如图1所示。

图1 3维轴距d

图中矢量a表示点(x,y,z), b为轴线方向单位矢量，则有

根据式(3)，由图1可得

根据式(4)计算图像各个像素点的3维轴距，统计3维轴距的距离分布，可得图像3维轴距的概率分布：

其中，M×N表示图像的大小，cd表示轴距等于d的像素点的个数，则p(d)表示轴距等于d的概率。

3 3维轴距概率分布特点分析

大多数无噪声图像的像素灰度值比较相近，这一特性使得像素的灰度值、邻域均值和邻域中值十分接近，而边缘点与其邻域像素存在灰度值的较大变化，使得像素的灰度值、邻域均值和邻域中值差异较大。根据3维轴距的定义可知，灰度值、邻域均值和邻域中值较相近的点其3维轴距较小，分布集中在中轴线周围，而灰度值、邻域均值和邻域中值相差较大的点其3维轴距较大，分布在相对远离中轴线的位置上。

以Lena图为例，采用3×3模板计算图像的邻域中值和邻域均值，运用式(4)、式(5)计算图像的3维轴距及概率分布得到如图2所示的3维直方图2(b)、3维轴距概率分布图2(c)和图2(d)。由图2(b)和图2(c)可见，图像的大多数像素点分布在以(0,0,0)到(255,255,255)构成的轴线周围，少数点稍远离轴线分布。由图2(d)统计可知图像的像素点77%分布在轴距d≤5的范围内，13%分布在5＜d≤10的范围内，5%分布在10＜d≤15的范围内，5%分布在d＞15的范围内。

出现该故障时，检查EBV内部与EBVCN的智能节点之间的电缆是否连接紧固。在途中发生该故障，一般不会影响机车运行，可在机车回段后更换EBV。

图2 Lena原图及其3维直方图、3维轴距概率分布图

利用Canny算子提取边缘得到如图3(a)所示结果，3维轴距大于5的像素点如图3(b)所示，比较两幅图可验证轴距较大的点主要由边缘点构成。对国际标准测试图像的细菌(bacteria)、芭芭拉(Barbara)、摄影师(cameraman)、辣椒(peppers)和Lena图像进行3维轴距的概率统计结果见表1，从统计结果可见这些图像均具有大多数像素分布在轴距较小(d≤5)范围内的特点。

4 椒盐噪声对图像3维轴距的影响

椒盐噪声由椒噪声和盐噪声构成，以8 bit整型数据保存的图像其椒盐噪声的灰度值为0和255。当噪声密度较小时在图像上形成散布的黑白点，这些黑白点相对其邻域形成灰度值的突变，由上面的分析可知灰度值突变点具有远离轴距的特点，因此椒盐噪声点分布在3维直方图的x=0和x=255的平面上且具有远离轴线的特点，其中亮区的盐噪声和暗区的椒噪声离轴线较近，但这部分噪声对图像的视觉效果影响较小，可以忽略。

如图4所示，在密度为0.05的椒盐噪声影响下，图像上出现较多散布的黑白点，图像的3维直方图与图2(b)相比在x=0和x=255平面上增加了较多点，图4(c)3维轴距概率分布出现拖尾现象，从饼图上看大部分像素点仍分布在＜5的轴距范围内，部分点向外扩散，各个轴距区域均有不同程度的增加。

当椒盐噪声密度较大时会在连续区域内出现椒噪声或盐噪声，反映在图像上则会形成黑白块状噪声区域，块状噪声边缘形成灰度值的突变，这些突变点具有远离轴距的特点，但块状噪声中心点则具有轴距小的特点，噪声密度大时这些轴距小的噪声点数量较多不容忽视。

图3 Canny算子边缘提取与轴距大于5的点

表1 图像 3 维轴距的概率统计(%)

如图5(a)所示，在噪声密度为0.5的椒盐噪声的影响下，图像上出现很多块状黑白区域。3维直方图中远离轴线的点由两部分够成，其一是椒盐噪声点，这些点分布在x=0和x=255的平面上；另外一部分是出现偏移的非噪声点，这些点邻域中存在噪声，使得邻域中值、邻域均值出现偏差，导致像素点分布远离轴距，如图5(b)所示，这两部分的远离轴距的点使得3维轴距的概率分布如图5(c)所示，在各个点上都有显著的增加，从图5 (d)饼图可见轴距d＞20的部分增大到78%。

图4 噪声密度为0.05的椒盐噪声对图像和3维轴距概率分布的影响

图5 噪声密度为0.5的椒盐噪声对图像和3维轴距概率分布的影响

5 去噪方法

图6所示为本文算法的处理流程，首先采用图像边沿点向外扩充的方法对图像进行边沿扩充，以解决图像边沿噪声得不到处理的问题；再计算噪声图像邻域均值和中值，利用式(4)计算图像的3维轴距得到轴距矩阵D；设置噪声阈值的初始值为Th=max(D)；设置噪声阈值为Th=a×Th, 0＜a＜1检测噪声，如果窗口中心点灰度值为0或者255且轴距大于噪声阈值，则该点标识为噪声点，采用邻域非噪声中值滤波，否则为非噪声点，保持不变；噪声点修正后，窗口内所有点的3维轴距都会发生变化，需重新计算并更新窗口内所有点的3维轴距；滑动窗口处理整张图片。采用迭代滤波的方法，直到迭代次数到达时停止，去除扩展的边沿后得到去噪后的图像。

图6 算法流程图

5.1 图像边沿扩充

采用加窗函数处理的算法都存在边沿噪声得不到处理的问题，本文采用图像边沿向外扩充的方法对图像进行边沿扩充。如图7所示以图像左上角边沿扩充为例说明扩充方法，黑色实线下方为真实图像像素，图7中像素矩阵的第1行和第1列为扩充的图像边沿，扩充的边沿由与之相同色块的像素来形成。

噪声密度较大时，会在图像上形成黑白块状噪声，使得当前处理窗口中存在较多的噪声点，直接利用中值滤波，噪声点可能得不到修正的效果。像素(,)fij邻域范围内的非噪声点集合为

5.3 更新轴距矩阵

噪声点修正后会使得邻域内像素点的轴距发生变化，在大噪声情况下，块状噪声中心像素的轴距很小，当块状噪声边缘得到修正后，及时修正邻域范围内的轴距能将这些块状噪声的中心点3维轴距提高使噪声点凸显出来，从而得到有效的处理。

5.4 迭代滤波

算法通过噪声阈值确定像素是否为噪声，但很难选择一个阈值既能适用于不同噪声又能适用于不同图像。本文算法选取图像的最大轴距作为阈值的起点，能有效避免不同图像带来的阈值设置问题。采用迭代的方式逐次降低噪声阈值，在最初的几次迭代中阈值较高，能使最有可能为噪声的点得到修正。在迭代处理中降低噪声阈值使更多的噪声点得到修正，通过实验发现a=0.6能得到最佳的去噪效果，噪声＜0.5时，迭代次数可设置为10，噪声＞0.5时，迭代次数设置为20，能得到很好的处理效果。

图7 图像边沿扩充

6 算法比较

仿真实验1～实验3对本文提出的3维轴距去噪算法(Three Dimensional Axis Distance Filter, TDADF)，算法采用3×3的窗口与传统中值滤波(Median Filter, MF)、自适应类滤波算法中的自适应开关中值滤波(Adaptive Switching Median Filter, ASMF)[5]和快速自适应均值滤波(Efficient Average Filter, EAF)[6]、加权滤波类算法中的修正方向加权中值滤波(Modified Directional Weighted Median Filter, MDWMF)[9]及模糊类算法中的自适应模糊中值滤波(Noise Adaptive Fuzzy Switching Median Filter, NAFSMF)[10]的去噪效果进行比较。

实验1 在Lena原图上加载密度为0.1的椒盐噪声，6种算法的去噪效果如图8所示。在噪声不大的情况下，6种算法都能有效地去除椒盐噪声。通过100次Monte Carlo实验得到6种算法归一化均方误差值(Normalized Mean Squared Error, NMSE)的统计均值，见表2。NMSE的计算公式如式(8)所示。

从测试结果可见，MDWMF采用7×7窗口带来的边缘噪声问题使算法在小噪声情况下效果不佳，NAFSMF, ASMF, EAF都不同程度地存在边沿噪声问题，去噪效果略优于MF算法，本文算法通过扩展边缘有效处理了边沿噪声问题，通过轴距来检测噪声，最大程度地保持了原始图像的灰度值，去噪效果最好。

实验2 在Lena原图上加载噪声密度为0.5的椒盐噪声，上述6种算法的去噪效果如图9所示。在大噪声下MF和ASMF算法失效，MDWMF和NAFSMF算法边沿噪声问题凸显，EAF和本文TDADF算法从视觉效果上看去噪效果相当。NMSE的100次Monte Carlo实验统计结果如表3所示，从表格数据可见本文算法采用轴距更新和迭代去噪的方式在处理块状噪声的同时能使原始图像得到最大程度地保持，处理效果优于EAF算法。

实验3 在Lena原图上分别加载噪声密度从0.01到0.8的椒盐噪声，进行100次Monte Carlo实验得到6种算法NMSE的统计均值，结果如图10所示。从图10的结果可以看出本文算法在不同噪声密度情况下都能获得的比其他5种算法好的处理效果，是去除椒盐噪声的有效方法。

图8 椒盐噪声为0.1影响下6种算法去噪效果的比较

表2 椒盐噪声为0.1影响下6种算法处理后图像的NMSE

表3 椒盐噪声为0.5影响下 6 种算法处理后图像的NMSE

图9 椒盐噪声为0.5影响下6种算法去噪效果的比较

7 结论

本文基于图像的3维直方图提出了图像3维轴距的概念，文中利用3维轴距来检测噪声，采用扩展图像边沿的方法能有效解决窗函数引入的图像边沿噪声问题，采用迭代滤波的方式能有效消除块状噪声。仿真结果显示本文提出的基于3维轴距的去噪算法是一种非常有效的消除椒盐噪声的方法。

图10 不同噪声密度下6种去噪算法的NMSE曲线

[1] Lan Xia and Zuo Zhi-yong. Random-valued impulse noise removal by the adaptive switching median detectors and detail-preserving regularization[J]. Optik-International Journal for Light and Electron Optics, 2014, 125(3): 1101-1105.

[2] Umesh G and Rajoo P. An intensity independent fixed valued impulse noise detector for image restoration[J]. AEU-International Journal of Electronics and Communications, 2014, 68(3): 210-215.

[3] Wang Zhou and Zhang D. Processing switching median filter for the removal of impulse noise from highly corrupted images[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems, Analog and Digital Signal Processing, 1999, 46(1): 78-80.

[4] Toh K K V, Ibrahim H, and Mahyuddin M N. Salt-and-pepper noise detection and reduction using fuzzy switching median filter[J]. IEEE Transactions on Consumer Electronics, 2008, 54(4): 1965-1970.

[5] Akkoul S, Ledee R, Leconge R, et al.. A new adaptive switching median filter[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2010, 54(6): 587-590.

[6] Ramadan Z M. Efficient restoration method for images corrupted with impulse noise[J]. Circuits, Systems Signal Processing, 2012, 31(4): 1397-1406.

[7] Riji R, Pillai K A S, Nair M S, et al.. Fuzzy based directional weighted median filter for impulse noise detection andreduction[J]. Fuzzy Information and Engineering, 2012, 4(4): 351-369.

[8] Nasimudeen A, Nair M S, and Tatavarti R. Directional switching median filter using boundary discriminative noise detection by elimination[J]. Signal, Image and Video Processing, 2012, 6(4): 613-624.

[9] Lu Ching-ta and Chou Tzu-chun. Denoising of salt-and-pepper noise corrupted image using modified directional-weighted-median filter[J]. Pattern Recognition Letters, 2012, 33(10): 1287 -1295.

[10] Toh K K V and Isa N A M. Noise adaptive fuzzy switching median filter for salt-and-pepper noise reduction[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2010, 17(3): 281-284.

[11] Meher S K. Recursive and noise-exclusive fuzzy switching median filter for impulse noise reduction[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2014, 30: 145-154.

[12] Marcel J S, Jayachandran A, and Sundararaj G K. An efficient algorithm for removal of impulse noise using adaptive fuzzy switching weighted median filter[J]. International Journal of Computer Technology and Electronics Engineering, 2014, 2(2): 1-4.

[13] 张书真, 黄光亚. 基于三维指数灰度熵的快速图像分割算法[J]. 计算机工程与应用, 2013, 49(21): 119-122.

Zhang Shu-zhen and Huang Guang-ya. Fast image segmentation algorithm based on three-dimensional exponential gray entropy[J]. Computer Engineering and Applications, 2013, 49(21): 119-122.

[14] Sun W B, Chen H X, Sun W B, et al.. The research of unsupervised change detection method based on the clustering characteristic of 3D histogram[J]. The Imaging Science Journal, 2013, 61(2): 134-145.

[15] Jin Liu, Zheng Jian-hong, Tang Quan-hua, et al.. Minimum error thresholding segmentation algorithm based on 3D grayscale histogram[OL]. http://dx.doi.org/10.1155/2014/ 932695, 2014.

黄光亚： 女，1981年生，硕士，讲师，研究方向为信号处理、图像处理.

曾水玲： 女，1975年生，博士，副教授，研究方向为人工智能的理论、技术和应用以及模糊智能系统.

张书真： 女，1977年生，硕士，副教授，研究方向为图像处理、模式识别.

邓小飞： 女，1982年生，硕士，讲师，研究方向为自动控制.

徐 倩： 女，1980年生，硕士，讲师，研究方向为图形处理.

Image Denosie Algrithom Based on Three-dimensional Axis Distance

Huang Guang-ya Zeng Shui-ling Zhang Shu-zhen Deng Xiao-fei Xu Qian
(School of Information Science and Engineering, Jishou University, Jishou 416000, China)

Image denoising is an important issue in the field of image processing. This paper defines the three-dimensional axis distance on the basis of three-dimensional histogram, analyzes the distribution features of image’s three-dimensional axis distance under the influence of non-noise and salt-pepper noise situation, thus the denoising algorithm upon the three-dimensional axis distance is proposed. The proposed algorithm extends image edge at first and then detects noise by employing the three-dimensional axis distance. Finally, the noise is eliminated by excluding noise pixels’ median filter. The results of comparisons among the proposed algorithm, median filter, adaptive switching median filter, efficient average filter, modified directional-weighted-median filter, and noise adaptive fuzzy switching median filter verify the effectiveness of the proposed algorithm.

Image processing; Image noise reduction; Salt and pepper noise; Three-dimensional histogram

TN911.73

A

1009-5896(2015)03-0552-08

10.11999/JEIT140505

2014-04-17收到，2014-07-25改回

国家自然科学基金(61363033, 61102089, 61362018)和湖南省教育厅优秀青年项目(13B093)资助课题

*通信作者：黄光亚 hgyme2@126.com