十字相乘法去是留之我见

时曼曼

摘  要：在中学数学教学中关于“十字相乘法”这一知识点的争议颇大，主要有提倡删去和建议保留“十字相乘法”这两种观点。建议保留“十字相乘法”的人认为：虽然十字相乘法存在局限性--不是通法，但是“十字相乘法”自身存在着数学教育价值，它体现了数学的简洁、形式美;掌握“十字相乘法”对学习一元二次方程的求解、解不等式及三角函数都会有帮助。赞同删去“十字相乘法”的人认为：“十字相乘法”技巧性过强，注重教会学生一些奇怪的解题技巧，不仅会加重学生的学习负担，这也与数学课程要培养学生的数学技能的目标相违背。根据一元二次方程根与系数的关系--韦达定理同样可以代替“十字相乘法”通过观察试解的方法来求解方程。

关键词：十字相乘法;因式分解;公式法

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对于分解因式这一知识内容的要求为“能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）”。显然，课标并不要求掌握用“十字相乘法”对多项式进行分解因式。通过对数学教学交流群—中国数学教育之友初中群（著名数学教育家张奠宙教授也在该交流群，群成员中有来自全国各地的中学教师900人左右）做调查：“十字相乘法”该不该教，你怎么看？可谓是众说纷纭，许多教师认为“十字相乘法”是奇技淫巧不该教，但在实际教学时还是讲了“十字相乘法”。于是试图通过梳理关于“十字相乘法”的各方主要观点加深读者对于“十字相乘法”的认识，对比人教版、苏教版对“十字相乘法”的处理和安排，对“十字相乘法”的教学提出一点建议。

一、赞同删去十字相乘法的观点

王尚志、张思明、胡凤娟在《如何认识“十字相乘法”（一）》中认为，求根公式法是一种非常简单、通用的方法。不管在什么情况下都能在有限步将二次三项式成功分解;其次，求根公式对于研究一元二次方程根与系数的关系，对深刻认识“十字相乘法”及学生学习有关的不等式、方程都有帮助，而“十字相乘法”只适用于特殊的二次三项式的分解，对于没有整数根的二次三项式，十字相乘法就失去了应用价值。因此，作者认为求根公式是适用面更广的“通性通法”。王尚志、张思明、胡凤娟在《如何认识“十字相乘法”（二）》中认为使用“十字相乘法”进行因式分解要求在有限次尝试后能成功将其常数项分解，这就使得常数项不能是分数因而具有一定的局限性。而“求根公式法”是通性通法，應该将重点放在掌握通性通法—用“求根公式法”分解因式上，这样在学生掌握了通性通法后，“十字相乘法”就显得不那么重要了，有精力的学生可以去了解一下，没有多余精力的学生也不会因为不懂“十字相乘法”而不会因式分解了.盘世惠、金绍鑫在《别了，十字相乘法》一文中指出，若教师在教学中补教十字相乘法仅为应付教辅上的因式分解题或者是为了有利于学生求解一元二次方程是不可取的，原因在于其认为“十字相乘法”是一种观察试算法，而在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中新增了“了解一元二次方程的根与系数的关系”，那么可以采用试算加韦达定理的方法求解一元二次方程，即先由观察得出方程一根然后再根据韦达定理求出另外一根。这样既减轻了学生的学习负担也做到了和课标相一致。甘志国在《不用十字相乘法速解一元二次方程》中，由关于x的两个一元二次方程

ax2+bx+c=0（1）

x2+bx+ac=0（2）

的根之间的联系，给出定理：若方程（1）（2）之一有实根，则它们均有实根，且（2）的两根分别是（1）的两根的a倍。作者试图将原方程二次项系数化为1从而便于求解新方程的根，之后再通过两个方程的根之间的关系得出原方程的根。

总之，赞同删去“十字相乘法”的观点为：“十字相乘法”技巧性过强，注重教会学生一些奇怪的解题技巧，不仅会加重学生的学习负担，这也与数学课程要培养学生的数学技能的目标相违背。根据一元二次方程根与系数的关系同样可以代替“十字相乘法”通过观察试解的方法来求解方程。

二、不赞同删去十字相乘法的观点

1.十字相乘法并非难以掌握，在教学中渗透十字相乘法可增强学生学习数学的信心

王怀喜《请给十字相乘法留一席之地》一文中指出“十字相乘法”作为一种运算工具，它的重要性体现在运算简洁、高效，思路清晰、流畅，是训练学生思维的灵活性、提高学生观察能力的好手段。相对于公式法和配方法使用十字相乘法可使学生的数学学习活泼些，并且认为“十字相乘法”易于学生掌握在教学时不做深入学习不会用时很多，让学生的解题多一条路子是不错的选择。唐宗康《一元二次方程几种常用解法的选择之我见》一文中在使用因式分解法求解一元二次方程时，对于形如x2+（a+b）x+ab=0的一元二次方程用“十字相乘法”进行因式分解，能快速地求解，这可以大大提高学生的解题速度，增强学生学习数学的信心。

2.就“十字相乘法”在中学数学知识体系中的作用而言其具有重要意义

邝孔秀在《“十字相乘法”该删吗？》一文中从十字相乘法在初中数学知识体系中的地位和作用的角度来看，“十字相乘法”在因式分解、分式通分约分加减运算以及求解不等式时常用到，在沟通初中代数运算方面“十字相乘法”具有重要意义。因此作者认为“十字相乘法”应保留。唐绍友《初三数学教学中渗透初、高中衔接的实践与思考》一文中从初高中知识点的衔接的角度来看，作者认为一些知识点在初中没有纳入中考要求或者要求较低而高中数学学习中又会用到，若不做好衔接会给高中的教学带来了困难。并结合北京市中考题来说明采用“十字相乘法”求解含有参数的一元二次方程时，会事半功倍，而使用公式法解，常因为含参数代数式会增加计算量且开方时易出错，显然使用“十字相乘法”解占优势。司徒永显在《对十字相乘法教材和教学的建议》中认为在初一年级向学生介绍“十字相乘法”对于后续学习将会带来不少好处，只要所研究的二次三项式是能够分解因式的，使用“十字相乘法”进行因式分解是很方便的，并结合自己的实际教学经验和通过作“题组教学”的尝试，发现即使是对于中下学生也是很容易接受“十字相乘法”的。

对于不赞同删去十字相乘法的观点主要集中在“十字相乘法”使学生接受起来并不困难，一旦掌握该方法操作起来很方便;有时“十字相乘法”分解因式，可较快地对分式进行化简和计算，快速解决部分一元二次方程和不等式问题，作为一种数学思想方法和工具也是需要学生了解的。

三、“十字相乘法”在人教版和苏教版教材中的体现

苏教版教材在数学活动环节安排一个拼图活动：给出3张纸片边长分别为a和b的两个正方形以及一个长和宽分别为a和b的长方形，然后通过计算由2个边长为b的正方形，1个边长为a的正方形以及3个长方形拼成的长方形的面积，从而得出

a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）（3）

在这里借助图形直观让学生经历实际操作体验一种新的分解因式的方法，但教材中没有表明所使用的方法是“十字相乘法”。教材这样处理是很好的，教师在重点讲解提公因式法和运用公式法之后可以再带领学生感知分解形如x2+（a+b）x+ab型的二次三项式时的思维过程，相信通过观察、猜想、验证等数学活动可以培学生的直觉思维能力。

人教版教材在阅读与思考“x2+（p+q）x+pq型因式分解”中利用多项式的乘法法则推导出

（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq（4）

再由因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系可得：

x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）（5）

然后利用此种分解因式的方法分解二次项系数为1的二次三项式，并结合实例分解式子x2+3x+2，通过观察二次三项式的常数项可以分解为2=1x2，一次项系数3=1+2，因此判断这是x2+（p+q）x+pq型的式子，利用公式（5）可得x2+3x+2=（x+1）（x+2）。与苏教版不同的是人教版给出了怎样用十字相乘的形式形象表示分解因式的過程以及表示图（如图一）

1x1+1x2=3

图一：因式分解过程

人教版和苏教版教材都安排了“十字相乘法”这一知识点，而且都是在重点讲解提公因式法和公式法之后以数学活动和阅读材料的形式呈现“十字相乘法”，补充的“十字相乘法”可以作为学有余力的同学提高运算能力、发展技能的一个平台。

通过梳理支持或反对删去“十字相乘法”的两种观点以及各个版本教材对“十字相乘法”的补充与否，存在着诸多不一致现象。可见，“十字相乘法”目前还是一个争议较大的知识点。有争议也是好的，若“十字相乘法”真的具有教育价值也定会回到课标中来。关于“十字相乘法”，我有几点看法：一，教与不教“十字相乘法”关键在于理清掌握了十字相乘法的学生在具有选拔性的考试中是否占有优势。二，存在一些教师仅从自身学过“十字相乘法”的经历出发便认为该方法简单易学。教师应与时俱进地更新自己的学科知识，审视自己的教育理念，而不是一味地将自己从老师那里学到的一切再传授给自己的学生。三，陈重穆教授在谈到十字相乘法时说到，育人是选择知识内容比实际应用更加重要的标准。教育的对象是学生，那我们应重视学生的学习感受，可采取问卷调查或访谈等方法搜集学生对学习“十字相乘法”的情感体验等相关资料，而不是仅从教师教的角度出发。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社.2012.1.

[2]王尚志，张思明，胡凤娟.如何认识“十字相乘法”（一）[J].中学数学教学参考.2008.11.

[3]王尚志，张思明，胡凤娟.如何认识“十字相乘法”（二）[J].中学数学教学参考.2008.11.

[4]盘世惠，金绍鑫.别了，十字相乘法[J].中小学数学.2013.12.

[5]甘志国.不用十字相乘法速解一元二次方程[J].中学数学杂志.2010.12.

[6]王怀喜.请给“十字相乘法”留一席之地[J].中小学数学.2013.1.

[7]唐宗康.一元二次方程几种常用解法的选择之我见[J].教育研究.2010.2.

[8]邝孔秀.“十字相乘法”该删吗？[J].数学通报。2001.10.

[9]唐绍友.初三数学教学中渗透初、高中衔接的实践与思考[J].中学数学.2015.3.

[10]司徒永显.对十字相乘法教材和教学的建议[J].佛山科学技术学院学报.1984.1.

[11]杨裕前，董林伟.义务教育教科书数学七年级（下册）[M].江苏科学技术出版社。2012.11.

[12]义务教育教科书数学八年级上册[M].北京：人民教育出版社.2013.5.

（作者单位：南京师范大学教师教育学院）