单项式乘多项式法则的再认识

孔华明

【摘要】 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础，又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。

【关键词】因式分解；类比；探索

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）28-0117-01

案例分析教学过程设计

（一）情境引入情境一：如何计算3752.8+3754.9+3752.3，你是怎么想的？【评析】：（1）复习旧知，加深记忆，同时为下面的学习作铺垫。（2）学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高。情境二：分析比较把单项式乘多项式的乘法法则a（b+c+d）=ab+ac+ad①反过来，就得到ab+ac+ad=a（b+c+d）②思考：你是怎样认识①式和②式之间的关系的？【评析】：探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程。

（二）『探究因式分解』1.认识公因式（1）多项式ab+ac+ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式。（2）议一议下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试找出公因式.a2b+ab2、3x2-3y、3x2-6x3【评析】（1）教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，并能通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误。（2）对公因式的理解是因式分解的基础，所以在解决这个问题时要注意配以练习，特别是多次方及系数的公因式，要让学生注意。（3）找公因式的一般步骤可归纳为：一看系数 二看字母 三看指数。2.认识因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式的叫做把这个多项式因式分解。（课本）P71练一练第1题（1）下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？①ab+ac+d=a（b+c）+d②a2-1=（a+1）（a-1）③（a+1）（a-1）=a2-1【评析】（1）本题主要是为了加深学生对因式分解概念的理解，使学生清楚因式分解的结果应是整式乘积的形式。（2）教师安排本题意图就是引导学生进行分析讨论，鼓励学生勤于思考，各抒己见，培养学生的逻辑思维能力和表达、交流能力。让学生在主动学习中掌握了因式分解是整式乘法的互逆的过程，以及理解利用它们之间的关系进行因式分解的这种思想，从而降低了本节课的难点。

（三）『例题研究』例1把下列各式分解因式（1）6a3b-9a2b2c（2）-2m3+8m2-12m【评析】（1）因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握。这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解例。（2）教师在讲解例题时，应鼓励学生自己动手找公因式，让学生通过动手动脑、实际操作，教师可在下面收集错误，再加以点评，加深对因式分解方法的理解。

（四）『巩固练习』练一练：辨别下列因式分解的正误（1）8a3b2-12ab4+4ab=4ab（2a2b-3b3）（2）4x2-12x3=2x2（2-6x）（3）a3-a2=a2（a-1）=a3-a2【評析】（1）这些多是学生易错的，本题设置的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰。本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中。（2）当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。（3）进行多项式分解因式时，必须把每一个因式都分解到不能分解为止。

（五）想一想如何把多项式3a（x+y）-2b（x+y）分解因式？评析：公因式（x+y）是多项式，属较高要求，当多项式中有相同的整体（多项式）时，不要把它拆开，提取公因式时把它整体提出来，有时还需要做适当变形，如（2-a）=-（a-2），教学时可初步渗透换元思想，将换元思想引入因式分解，可使问题化繁为简。

（六）教学反思分解因式是一种变形，变形的结果应是整式的积的形式，分解因式与整式的乘法是互逆关系，即把分解因式看作是一个变形的过程，那么整式乘法又是分解因式的逆过程，这种互逆关系一方面体现二者之间的密切联系，另一方面又说明了二者之间的根本区别。探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生提供丰富有趣的问题情境，并给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程。