带有不同Hardy位势和多重Sobolev临界指数方程组的基态解

康东升, 喻 晶, 上官晓天

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

带有不同Hardy位势和多重Sobolev临界指数方程组的基态解

康东升, 喻 晶, 上官晓天

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

利用变分方法和分析技巧，研究了带有多重临界指标和不同Hardy位势项的椭圆方程组，证明了方程组基态解的存在性以及瑞利商极小值的可达性.

椭圆方程组；极小值；临界指数；基态解；变分方法

1 主要问题及主要结果

本文考虑如下椭圆方程组：

(1)

本文主要在积空间D×D中研究问题(1)，并且定义其相应的能量泛函为：

μ2|v|2*+ν|u|α|v|β)dx.

那么I∈C1(D×D,R)，其对偶积定义如下：

其中u,ν,φ,φ∈D,若(u,v)≠(0,0)，I′(u,v),(φ,φ)=0，∀(φ,φ)∈D×D,则(u,v)∈D×D被称为方程组(1)的解，其中I′(u,v)为能量泛函I在点(u,v)处的Fréchet导数.

根据著名的Hardy不等式[1]：

(2)

那么在空间D上等价的范数表示为：

我们可以定义D1,2(RN){0}上的最佳常数：

(3)

并且是方程：

的解.那么(3)式的解满足:

同时在假设(H1)～(H3)下，通过Hardy不等式、Yong不等式和Sobolev不等式定义D1,2(RN){0}2上的最佳常数：

(4)

A=A(λ1,λ2,ν,μ1,μ2):=

(5)

特别地，当ν,λ1,λ2为非负常数时，我们将A写作B：

B=B(λ1,λ2,ν,μ1,μ2):=

(6)

那么在全文中，我们假设：

(H1) N≥3,N是整数，μ1>0,μ2>0,ν>0,α,β>1,α+β=2*.

在本文中，在假设(H1)下，定义如下函数：

(7)

其中τmin>0为f(t)在区间(0,+∞)中的最小值点.

在最近几年，许多学者研究半线性椭圆方程，并且得到了许多研究成果[2-5].特别地，带有Hardy位势和Sobolev临界项的椭圆方程得到了更多学者的关注[6-12].本文将研究方程组(1)的基态解的存在性以及瑞利商的极小值的可达性.

定义1 假设一个方程组所有的解组成的集合为E，如果集合E满足下面的条件：

则称(u,v)∈D×D是该方程组的基态解，即极小能量解．对于本文，在所有可能存在的解中，我们研究方程组(1)的基态解．因为使得方程组相应Rayleigh商取得极小值的解就是原方程组的基态解.

定理1 假设(H1)～(H3)成立，并且N>4,α<2,β<2.

(ii) 如果μ1→∞，μ2≤1，则方程组(1)有正基态解.

(iii) 如果μ1≥1,μ2→0，则方程组(1)有正基态解.

(iv) 存在ν*>0，使得对于所有的ν∈(0,ν*)，方程组(1)有正基态解.

下面我们首先证明(1)基态解的存在性；然后证明定理1．为了简洁起见，我们将省略掉积分号里的“dx”.

2 相关引理

在空间D*=D×D上我们定义能量泛函J(u,v)：

(8)

证明 证明方法与文献[11]中的引理1.1

类似.

证明 (i)当N>4,α<2,β<2时，

t≥0.

当t→0+，则f′(t)<0并且当t→+∞，f′(t)>0，那么存在tmin≥0使得：

fmin=f(tmin)

(ii) 为了证明引理2，引用文献[9]中定理1的方法，假设w∈D1,2(RN){0}, 那么我们选择(u,v)=(w,tminw)代入到(5)式中可以得到：

A(λi,λi,ν,μ1,μ2).

(9)

在(9)式中取w∈D1,2(RN){0}的下界，可以得到：

(10)

另一方面，取序列{(u,v)}⊂D×D为A(λi,λi,ν,μ1,μ2)的最小子列并且定义z=sv,

(11)

(12)

由Minkowski不等式得：

所以我们可以得到：

(13)

通过(10)和(13)式可以推得：

引理3 在假设(H1)～(H3)下，当N>4时，α<2,β<2.

(14)

(15)

A(λ1,λ2,ν,μ1,μ2)≤

(16)

那么当N>4,α<2,β<2,μ1>0,μ2>0,ν>0,α+β=2*时，根据引理2我们将t=tmin带入到(16)式中：

A(λ1,λ2,ν,μ1,μ2)

(17)

(ii) 如果μ1→∞,μ2≤1，那么(17)式成立.

(iii) 如果μ1≥1,μ2→0，那么(17)式成立.

3 基态解的存在

J′(un,vn),(φ,φ)=o(‖(φ,φ)‖D×D).

通过引理3可以得到：

(18)

再将(u,0)代入到(5)式中我们有：

(19)

则通过(18)和(19)式可以得到：

(20)

这就表明A(λ1,λ2,ν,μ1,μ2)仅仅只与λ1,μ1有关，与λ2,μ2无关，则从(20)式和引理2可以得到：

(21)

(22)

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Ground State Solutions of Elliptic Equations Involving Different Hardy-Type Terms and Multiple Critical Sobolev Exponents

KangDongsheng,YuJing,ShangguanXiaotian

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities,Wuhan 430074,China)

We study systems of equations involving critical nonlinearities and different Hardy-type terms.By variational methods,the existence of minimizers to Raleigh quotiens and ground state solutions to the systems is proved.

elliptic equation; minimizer; critical exponent; ground state solutions; variational method

2015-07-22

康东升(1967-)，男，教授，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail：dongshengkang@scuec.edu.cn

国家民委科研基金资助项目(12ZNZ004)；中南民族大学研究生创新基金资助项目(2015sycxjj127)

O175

A

1672-4321(2015)03-0100-05