Smagorinsky模型的变分多尺度有限元方法

张雨晴

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

Smagorinsky模型的变分多尺度有限元方法

张雨晴

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

主要研究求解 Smagorinsky模型的变分多尺度有限元方法．从理论上给出了有限元逼近解与真解之间的误差估计，并给出了大雷诺数Re = 10 000时的数值算例，算例结果验证了所给方法的有效性．

Smagorinsky模型；变分多尺度方法；有限元方法；误差估计

大涡模拟是湍流数值模拟中一种流行且高效的方法．Smagorinsky模型是常用的大涡模拟模型．与Navier-Stokes方程相比，Smagorinsky模型引入了γ= 3的γ-Laplacian人工粘性项．关于该模型的有限元数值方法，国内外有一些学者进行了研究，例如，文献[1]研究了该模型的两重网格算法，其有限元空间采用P1–P2元进行构造；文献[2]基于压力投影稳定化有限元方法，研究了该模型的两重网格算法．变分多尺度方法最早是由Hughes[3]等提出的，采用该方法可数值模拟大雷诺数下不可压缩粘性流体的运动规律．最近，Zheng等[4]提出了一种新的基于局部Gaussian积分的变分多尺度方法，与文献[3]中的方法相比，这种新的变分多尺度方法不需要引入额外的变量和存储空间，但可保持相同的计算效率．本文将采用文献[4]中所提出的变分多尺度方法，研究Smagorinsky模型的有限元逼近，在理论上分析其真解与逼近解的有限元误差估计，并给出数值算例验证理论分析的结果．

1 Smagorinsky模型

其中， Ω ∈R2是具有 Lipschitz边界的有界凸域，u,p和f分别代表流体的速度、压力和体积力．μ=1/Re是粘性系数，Re是雷诺数，CS是Smagorinsky常数，δ是运用于大涡模拟中的空间滤波器gδ的半径．引入下列函数空间：

在证明有限元误差估计时，还用到了下面的引理1．

引理1 对于所有的u1,u2,v∈W1,r(Ω)，存在一个依赖于d和Ω，但不依赖于u1,u2和v的常数C，使得下面的不等式成立：

2 变分多尺度有限元方法

记Th是Ω的拟一致的三角划分，相关有序三角形可表示为K1,K2···Kn，令hi=diam(ki)，i= 1,2···n，h=max{h1,h2···hn}．Pr(K)是K∈Th上度数最大为r的多项式空间．分别定义如下的有限元子空间：

3 数值结果

本节将给出数值结果来验证定理3中所得到的有限元误差阶．取Ω为R2上的单位正方形区域．选取适当的体积力f(x,y)使得真解有如下的形式：

表1 不同网格下的数值相对误差

从表1中可以得出以下结论：随着网格尺度h的减小，速度的H1相对误差和压力的L2相对误差也减小，并且它们的收敛阶数也逐渐达到最优阶数O(h2)，与本文理论分析的结果相一致．

[1] Borggaard J, Iliescu T, Lee H, et al. A two-level discretization method for the Smagorinsky model [J]. Multiscale Modeling and Simulation, 2008, 7(2): 599-621.

[2] Huang P, Feng X, Liu D. Two-level stabilized method based on Newton iteration for the steady Smagorinsky model [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2013, 14(3): 1795-1805.

[3] Hughes T, Franca L P, Hulbert G M. A new finite element formulation for computational fluid dynamics ,VIII, the Galerkin / least-squares method for advective-diffusive equations [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1989, 73(2): 173-189.

[4] Zheng H, Hou Y, Shi F, et al．A finite element variational multiscale method for incompressible flows based on two local Gauss integrations [J]. Journal of Computational Physics, 2009, 228(16): 5961-5977.

Study on the Finite Element Methods with Variational Multiscale for Smagorinsky Model

ZHANG Yuqing
(College of Mathematics and Information science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

This paper probes chiefly into the variational multiscale finite element method for Smagorinsky model. The finite element error estimations between the finite element approximation solution and the genuine solution are obtained from the theory, and an example of Re = 10 000 is given. Moreover, the results of numerical analysis show that this method is more effective to get the theoretical results．

Smagorinsky Model; Variational Multiscale Method; Finite Element Method; Error Estimation

O242.21

A

1674-3563(2015)04-0008-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.04.002 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2015-01-02

张雨晴(1988- )，女，吉林长春人，硕士研究生，研究方向：计算机数学与复杂系统控制