具有非线性slip边界条件的Smagorinsky模型有限元误差估计

刘 安

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

具有非线性slip边界条件的Smagorinsky模型有限元误差估计

刘 安

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

Smagorinsky模型是大涡模拟中常见的数学模型，研究求解了具有非线性 slip边界条件的Smagorinsky模型有限元方法，并且根据理论所得的有限元误差估计，设计数值模拟实验，通过六个不同网格尺度下的有限元逼近解与真实解的相对误差验证理论所得结果的准确性．

Smagorinsky模型；变分不等式；有限元方法；误差估计

湍流是自然界中最普遍的流动现象之一，是一种不规则的流动现象．因为湍流的运动是极端复杂的，所以研究湍流的方法主要是实验和数值模拟．数值模拟的方法有三种[1]：大涡数值模拟，直接数值模拟和雷诺时均模拟．早在 1963年，Smagorinsky[2]就提出了大涡模拟和 Smagorinsky模型，由于该方法简单易于操作，所以Smagorinsky模型得到了广泛的应用，但它的缺点是CS不是常数，取值受雷诺数等多种因素的影响，在实际应用中需要调试[3]．

本文主要研究了具有非线性slip边界Smagorinsky模型的有限元逼近方法，该非线性slip边界条件是由 Fujita[4]提出的，用来描述动脉硬化患者血管中血液流动问题．由于该边界条件包含有次可微性质，那么所研究问题的弱变分形式为第二类变分不等问题．应用Taylor-Hood元，我们给出了求解该问题的有限元逼近形式，从理论上得到了有限元逼近解所满足的误差估计，并用数值实验来验证理论分析的结果．

1 具有非线性slip边界条件的Smagorinsky模型

在LES系统中，定常Smagorinsky模型[5]是

2 有限元逼近

这里ε＞0是待定的数．将上述估计相加得到：

3 数值模拟

在标准的正方形区域上，选取适当的f使得精确解(u,p)具有如下的形式：

图1 区 域

表1μ= 10-3时的不同网格系数下数值实验所得的相对误差估计

4 结 论

本文介绍了Smagorinsky模型的由来，以及一类具有非线性slip边界条件的Smagorinsky模型的特点，应用有限元网格逼近方法，在理论上得到其逼近解．通过数值模拟实验验证了我们理论所得结果的准确性．误差分析和数值实验都表明：随着网格尺度h的减小，所得有限元逼近解与真实解之间的相对误差越小，收敛速度随着h的减小而逐渐变大．表示了该方法具有较高的收敛性，说明本文提出的有限元算法对于求解具有非线性slip边界条件的Smagorinsky模型是准确高效的．

[1] 郭勇. 大窝模拟理论及其应用综述[EB/OL]. [2015-04-07]. http://www.docin.com/p-305678699.html?qq-pf-to= pcqq.c2c.

[2] Smagorinsky J S. General circulation experiments with the primitive equations-I, the basic experiment [J]. Monthly Weather Review, 1963, 91: 99-164.

[3] 王玲玲. 大窝模拟理论及其应用综述[J]. 河海大学学报: 自然科学版, 2004, 32(3): 261-265.

[4] Fujita H. Non-stationary stokes flows under leak boundary conditions of friction type [J]. Comput Math, 2001, 19(1): 1-8.

[5] Borggaard J, Iliescu T, Lee H, et al. A two-level discretization method for the smagorinsky model [J]. Multiscale Modeling & Simulation, 2008, 7(2): 599-621.

[6] Saito N. On the stokes equations with the leak and slip boundary conditions of friction type: regularity of solutions [J]. Publ RIMS, Kyoto university, 2004, 40(2): 345-383.

[7] Li Y, Li K T. Uzawa iteration method for Stokes type variational inequality of the second kind [J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica-English Series, 2011, 27(2): 303-316.

The Finite Element Error Estimation for Smagorinsky Model with Nonlinear Slip Boundary Conditions

LIU An
(College of Methmatics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

Smagorinsky Model is common in large eddy simulation mathematical model. This paper mainly studies to solve the Smagorinsky model finite element method with nonlinear slip boundary conditions and the error estimation is based on the finite element theory so as to design a numerical simulation experiment. The relative error data under six different grid scales between the finite element approximation solution and the truth solution verify the accuracy of the theoretical analysis.

Smagorinsky Model; Variational Inequality; Finite Element Method; Error Estimation

O241.82

A

1674-3563(2015)04-0014-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.04.003 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：封毅)

2015-01-14

2014年浙江省大学生科技创新活动计划暨新苗人才计划项目(KZ1501070P01)

刘安(1990- )，男，安徽安庆人，硕士研究生，研究方向：计算机数学与复杂系统控制