在具有光滑曲线边界的有界域上-Δu=λu的数值特征值外推法的研究

蔡 惠，何文明

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

在具有光滑曲线边界的有界域上-Δu=λu的数值特征值外推法的研究

蔡 惠，何文明

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

主要讨论在外推技术下，域Ω（Ω⊂ℜ2，是具有光滑曲线边界的有界域）内-Δu=λu特征值的超收敛性．在区域内部采用拟一致的矩形剖分，边界的曲边四边形则剖分成两个三角形（其中一个三角形的一条边是曲边），进而得到一种尺寸为h的特殊的剖分τh，在此基础上，在区域内部采用双线性元，在边界采用线性元，提出一种数值模拟该方程的有限元方法．利用外推技术发现，对于特征值来说，该有限元方法具有O(h3)的超收敛性．

超收敛性；特征值外推法；双线性元

本文将重点讨论解决-Δu=λu的有限元超收敛估计问题．外推法技术对长期以来被广泛研究的有限元超收敛性起着重要作用，林群等人就曾使用外推法技术对数值问题的超收敛性进行了研究[1-6]．本文将引进特征值外推法的一些结论对-Δu=λu特征值的超收敛性进行研究．

本文将讨论在一个光滑曲线边界的有限区域Ω⊂ℜ2上，问题（1）的特征值外推法的超收敛性，其中光滑曲线边界不具有拟一致的矩形剖分或三角剖分．在区域内部采用拟一致的矩形剖分，在区域边界上，把边界的曲边四边形剖分成两个三角形（其中一个三角形的一条边是曲边），得到一种尺寸为h的特殊的剖分τh．对于分区τh上的-Δu=λu，在区域的内部采用双线性元，边界上采用线性元，本文提出了一种数值模拟该方程的有限元方法，并通过外推法技术发现，对于特征值来说，该有限元方法具有O(h3)的超收敛性．

注：本文中使用了索伯列夫空间的一些标准符号以及它们的范数．定义Ω是二维空间的一个有界区域，并且c表示常量但每次出现不一定相同，并与h和u无关．

1 一些定义与符号

2 光滑曲线边界的有限区域Ω⊂ℜ2上（1）的特征值外推法的超收敛性

基于文献[10]，得到尺寸为h的特殊剖分τh和相应元素空间S0h．在区域内部采用拟一致的矩形剖分，在区域边界上，把边界的曲边四边形剖分成两个三角形（其中一个三角形的一条边是曲边）．现在在τh上对问题（1）采取一种特殊的有限元方法，即在区域内部使用双线性元素，在区域边界上，使用如下定义的一种特殊元．假设e是一个边界元素，并选择e位于s轴的边界顶点，且它们中之一在原点s=0处的笛卡尔坐标系．现在假设网格大小h足够小，以至于使得∂e=e∩∂Ω能够被表示为一个图（见图1）．

这里p是一个坐标变换．让AC为一个直边并且(0 ,0),(h,0)是AC的两个端点，假设在AC上二次Lobotto点是s0=0＜s1＜s2=h，让p2(s)是二次多项式并且 (0,0),(s1,p(s1)),(h,p(h))是它所有的节点，可得：

定义曲线σn:t=p2(s),0≤s≤h．通过连接所有的σn，得到∂Ω的一个近似边界∂Ωh．对于问题（1），在τh上，现在引入一种特殊的有限元方法．假设Ω被分割成：

图1 曲线拟合

其中Ω1是所有拟一致剖分的并集．在区域内部使用双线性元素，但在边界上对任意具有弯曲边界的三角剖分使用一种特殊的元．假设e⊂Ω2并且l是e的一个边缘，如果l是一个直线段，本文要求插值函数Ihu(x)在l上是一个线性函数，如果l是一个曲线段，则uI(x)是一个二次函数．

现在阐述一下本文的思想，设A( 0,0),B(0,h1),C(h,0),E(x,y)是具有一个曲线边界BC的三角形ABC的四个节点，并且NA(x,y)是节点A处相应的基础函数．

令

经观察可得NA(x,y)满足：

1）NA(0,0)=1,NA(0,h1)=NA(h,0)=NA(x1,y1)=0；

2）NA(x,y)在AB和AC是一个线性函数；

3）NA(x,y)在BC上是一个二次函数．

假设集合Φ是边界∂Ωh上的所有节点所组成的集合．进一步，定义S0h：

利用（12）式，通过A（uh,w）= (f,w)， ∀w∈S0h对于问题（1）有有限元的解uh∈S0h．对于上述有限元，存在以下的估计．

引理1 假设v∈H3(∂Ω),φ∈L2( ∂Ω)，并且v(x,y)是边界∂Ω上v(x,y)的一个二次插值函数，则有：

证明：在τh上把∂Ω划分为l1, … ,ln，可以发现存在xi,xi+1(xi＜xi+1＜xi+h)和函数p(x),σ(x)使得

证明完毕．

如上所述，本文使用有限元的方法定义，在τh上有λ的数值近似λh．现在在剖分τh上引入数值外推技术去解决问题（1）．首先把包含在Ω1内的每个分区划分为 4个相同的分区，并且把包含在Ω2内的每个分区也划分为四个相同分区，此时得到了剖分τh2族，进而得到了在τh2上的有限元近似λh2，最后通过

来定义λ*．下面的引理2和引理3在分析解λ*与λ之间的误差时起到了重要的作用．

引理2[11]假设a(u,v)和(u,v)如（5）式所定义，且(λh,uh)是(λ,u)的有限元近似，则有：

并且τ是区域Ω上尺寸为h的特殊的矩形剖分，Iu(x,y)和uh(x,y)分别是双线性插值函数

h2h和（20）式的双线性有限元解，从而对于任意的e∈Th和v∈Sh有：

基于引理1、引理2和引理3，现在给出解λ*与λ之间的一个误差估计．

定理 1 假设(λ,u)是问题（1）的解，且λ*如（18）式所定义．在假设u∈H4(Ω)的情况下，存在常数c，使得

证明：首先估计λ-λh．可从引理2得：

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The Probe into Extrapolation of Numerical Eigenvalue for -Δu=λuon a Bounded Domain with Smooth Curve Boundary

CAI Hui, HE Wenming
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

Superconvergence; Eigenvalue Extrapolation; Bi-linear Element

O24

A

1674-3563(2015)04-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.04.001 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2014-09-30

蔡惠(1988- )，女，安徽淮南人，硕士研究生，研究方向：计算机系统与复杂系统控制