基于无失效数据的加权E-Bayes可靠性评估方法

2015-06-19蔡忠义陈云翔项华春董骁雄

系统工程与电子技术 2015年1期

关键词：先验布尔寿命

蔡忠义，陈云翔，项华春，董骁雄

（空军工程大学装备管理与安全工程学院，陕西西安710051）

基于无失效数据的加权E-Bayes可靠性评估方法

蔡忠义，陈云翔，项华春，董骁雄

（空军工程大学装备管理与安全工程学院，陕西西安710051）

针对无失效数据情况下产品的可靠性评估问题，提出加权最小二乘法结合期望Bayes（expected-Bayesian，E-Bayes）可靠性评估方法与模型。根据工程经验，构造出产品失效概率的先验分布；运用Bayes理论与方法，给出产品失效概率的E-Bayes估计；在威布尔分布场合下，采用加权最小二乘法来拟合产品寿命分布参数，给出产品可靠性指标的点估计和区间估计；结合算例分析，探讨模型的稳健性与方法的优越性，表明该方法具有较好的工程应用价值。

可靠性评估；无失效数据；先验分布；失效概率；期望Bayes

0 引言

定时截尾试验方案广泛运用于产品可靠性鉴定、验收试验中，不仅可以有效验证产品可靠性是否达到规定要求，而且可以有效缩减试验时间和经费。随着科学技术的快速发展，产品的质量与可靠性水平不断提高，在定时截尾试验中某型高可靠性水平的产品会出现无故障数据的情况，即无一试验样品失效，导致传统处理有失效数据定时截尾试验的统计方法不再适用。如何在无失效数据情况下对产品的可靠性指标进行科学合理的评估，受到了工程界和统计学者的广泛重视与研究，对这类问题的研究具有重要的理论和实用价值［1］。

关于无失效数据的研究分为两类：一类是传统的解析计算法，有修正似然函数法、样本空间排序法等；另一类是Bayes方法，包括Bayes估计法、多层Bayes估计法以及期望Bayes（expected-Bayesian，E-Bayes）估计法等。两者之间的主要差别在于是否利用先验信息。经典方法在处理无失效数据时不包含失效信息，其结果往往偏于保守；而Bayes方法充分利用了产品的各类先验信息，提高了估计的精度。

近年来，针对Bayes方法处理无失效数据的研究［26］，主要集中于如何在处理产品先验信息（如工程经验、主观信息）过程中保持客观公正，减少主观干扰。文献［2］和文献［3］分别采用经典的Bayes估计法、多层Bayes估计法与最小二乘法相集成的方法对无失效数据条件下的火箭发动机可靠性进行了评估，通过对比分析，发现前者估计误差较大，而后者计算十分复杂，工程上不便应用。文献［6］运用EBayes方法对液体火箭发动机进行了可靠性分析，并结合算例验证了方法的可行性。另外，文献［7- 13］针对可靠性试验中其他分布（如二项分布、指数分布等）场合下对无失效数据进行评估分析。

因此，本文在文献［6］的基础上，提出E-Bayes法与加权最小二乘法相集成的方法对无失效数据的产品可靠性指标进行估计。第1节描述了无失效数据问题，给出了统计模型；第2节根据工程经验分析和Bayes理论，构造出产品失效概率的Beta分布，求出失效概率的E-Bayes估计；第3节根据加权最小二乘法，拟合产品寿命服从威布尔分布的参数，从而求出产品平均寿命和可靠度的点估计和区间估计；第4节通过算例分析，探讨了方法的稳健性和适用性，并与现有方法进行对比分析。

1 问题描述

设产品寿命T的分布函数为F（t，θ），θ∈Θ，Θ为参数空间，截尾时间分别为t1，t2，…，tk（0＜t1＜t2＜…＜tk），在ti（i＝1，2，…，k）处共试验ni个样品，假设参与试验的样本无一失效，可认为所用样本寿命都大于截尾时间ti，则可称该定时截尾试验数据属于无失效数据，记作（ti，ni）。

通过分析，可以得到以下试验信息：

（1）产品寿命T服从分布函数F（t，θ），记为F（t）；

（2）产品在ti时刻的失效概率记为pi＝P（T≤ti），则p0＜p1＜…＜pk；

（3）t＝0时，产品的失效概率p0＝P（T≤0）＝0；

（4）记si＝ni＋ni＋1＋…＋nk表示在ti时刻有si个样本还未失效，即有si个样品的寿命大于ti。

因此，本文要解决的问题是如何利用上述定时截尾试验中的无失效数据（ti，ni）信息对产品的可靠性指标进行科学评估。文献［1］最早提出采用配分布曲线法，在定时截尾时间ti处获得失效概率pi的估计＾pi，然后在寿命分布类型已知的情况下，利用＾pi给出寿命分布参数的最小二乘估计值，从而求出产品的可靠度估计值。在此基础上，本文运用Bayes理论与方法，提出E-Bayes与加权最小二乘法相集成的可靠性估计方法。

2 失效概率估计

在确定失效概率pi的E-Bayes估计前，必须先确定其先验分布。

2.1 先验分布类型确定

根据工程经验，由于各样品独立试验且试验结果只有正常和失效两个可能结果，可推断样本总体服从二项分布，此时可选Beta分布作为失效概率pi的共轭先验分布［14］。

若pi的先验分布为Beta分布（参数为a和b），记为B（a，b），其密度函数为

由于π（pi／a，b）必须是pi的减函数，才能作为pi的先验密度函数，对其求导得

当0＜a≤1，b＞1时，dπ（pi／a，b）／d pi＜0，此时π（pi／a，b）是pi的减函数。

2.2 失效概率E-Bayes估计

先验分布中所含的未知参数称为超参数，如何利用先验信息来确定超参数是使用Bayes方法必须研究的问题。根据先验信息，可假设pi的先验分布中超参数服从均匀分布，以下分两个超参数和一个超参数的情况，分别给出pi的E-Bayes估计的定义和估计［1516］。

（1）两个超参数都为均匀分布的情况

超参数a和b的先验分布服从均匀分布U（0，1）和U（1，c），其中c为大于1的常数（通常由专家结合历史数据和经验给出）。

是pi的Bayes估计对超参数a和b的数学期望。

定理1 对某产品进行k次定时截尾试验，结果所用样品无一失效，获得的无失效数据为（ti，ni），记

若pi的先验密度函数π（pi／a，b）由式（1）给出，在平方损失下pi的E-Bayes估计为

式中

（2）一个超参数为均匀分布的情况

当超参数a＝1时，pi先验密度函数为式中，0＜pi＜1；超参数b的先验分布服从均匀U（1，c），c为大于1的常数。

文献［6］提出在先验分布为Beta分布且a＝1时，b越大，其分布密度函数的尾部越细，Bayes估计模型的稳健性越差，因而c的取值不宜过大。

从上述定义可以看出，pi的E-Bayes估计

是pi的Bayes估计对超参数b的数学期望。

定理2 对产品进行k次定时截尾试验，结果所用样品无一失效，获得数据为（ti，ni），记

若pi的先验密度函数π（pi／b）由式（8）给出，在平方损失下，pi的E-Bayes估计为

3 可靠性指标估计

假设产品的寿命T服从威布尔分布，其分布函数表示为

式中，m表示形状参数；η表示尺度参数（也称特征寿命）。在工程实践中，一般可知威布尔分布的形状参数在1～10之间。

产品在t时刻的可靠度函数表示为

3.1 可靠性指标点估计

根据文献［1］的最小二乘估计法，提出威布尔分布参数m和η的加权最小二乘估计为

式中

其中，wi为权重值。加权的方式多种多样，常见的有两种：一是简单的试验时间加权；二是试验时间与对应的样本量相融合的复合加权。文献［6］的结论指出第二种加权方法得出的估计值误差较小。因此，本文采用此结论，即按各试验时间以及对应的试验样品数加权，表示为

根据上述表达式，可知产品的平均寿命θ的点估计为

产品在t时刻的可靠度R（t）的点估计为

3.2 可靠性指标区间估计

文献［17- 18］研究产品在寿命服从威布尔分布且形状参数已知的情况下，令θ＝ηm，l＝tm，则威布尔分布改写为指数分布，即分布函数为

从而将威布尔分布转化为指数分布来处理，给出了可靠度的单侧置信下限。通过上文分析可知，威布尔分布参数可以通过加权最小二乘法求出。基于此，本文给出产品服从威布尔分布的可靠性指标（平均寿命和可靠度）的双侧置信区间。

定理3［5］对寿命服从威布尔分布的产品进行k次定时截尾试验，所用样品无一失效，获取的数据为（ti，ni）（i＝1，2，…，k），若形状参数m已知，则有：

（1）平均寿命θ的置信水平为1－α的置信区间为

（2）可靠度R（t）的置信水平为1－α的置信区间为

可靠度双侧置信区间的长度用Δ＾R（t）表示，可靠度双侧置信区间的平均长度用Δ表示，则有

4 算例分析

假设某产品在其可靠性鉴定试验中，样本都没有发现故障，数据经收集整理如表1所示［19］。依据工程实践经验，可认为产品寿命服从威布尔分布。

表1 某航空产品的无失效数据

假设产品先验分布参数a＝1，b服从于均匀分布。依据工程经验，取置信水平为0.9。首先，讨论c取值的合理性，分别取c＝2，3，4，5，相关参数的计算结果如表2所示。在相同的置信水平下，Δ越短，估计误差越小，c取值越优，则该方法的稳健性越好。从表2中可以看出，当c取2时，Δ的值最小，得出的结论比较合理，这与工程实践做法相符。

然后，通过与现有方法（即经典Bayes法、多层Bayes法和无加权E-Bayes法）［3-4］对比分析可知，本文提出的EBayes可靠性指标估计的总体误差最小（见表3），充分说明了该方法的优越性。

最后，当c＝2时，产品在t时刻可靠度的点估计与区间估计结果见表4。

表2 在c取值不同情况下产品可靠度估计误差

表3 当c=2时本文方法与现有方法的估计结果对比

表4 产品在t时刻可靠度的点估计与区间估计

5 结论

在工程实践活动中，工程技术人员对于产品可靠性经验认识丰富，本文正是针对此类先验信息，推断样本总体分布，并以Beta分布作为失效概率共轭先验分布，给出了产品失效概率E-Bayes估计值；采用加权最小二乘法拟合产品威布尔分布参数；结合算例表明，对寿命服从威布尔分布的某航空产品在无失效数据条件下的可靠性指标进行评估是可行的。

与现有的经典Bayes、多层Bayes以及无加权E-Bayes方法相比，本文提出的加权最小二乘法结合E-Bayes可靠性评估方法，在加工经验和主观信息过程中，不仅充分利用了各类先验信息，尽可能减少了主观因素的干扰，而且计算过程清晰明了，给出的可靠性指标估计误差较小，具有较好的工程应用价值。

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Method for evaluation of weight expected-Bayesian reliability based on zero-failure data

CAI Zhong-yi，CHEN Yun-xiang，XIANG Hua-chun，DONG Xiao-xiong（Equipment Management&Safety Engineering College，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）

Aiming at the problem of product reliability evaluation in condition of zero-failure data，a method combining the weight-least-square method with expected-Bayesian（E-Bayes）reliability evaluation is put forward．According to the engineering experience，the prior distribution of product failure probability is constructed．Then the E-Bayes estimation of product failure probability is given by using the theory and method of Bayesian．In condition of Weibull distribution，the weight-least-square method is used to seek out the parameter of Weibull distribution，and obtain the reliability indexes’point and interval estimation．At last the robustness of the model and the superiority of the method are discussed by an example which shows the value of the method in engineering application．

reliability evaluation；zero-failure data；prior distribution；failure probability；expected-Bayesian（EBayes）

TB 114

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．35

蔡忠义（1988-），男，博士研究生，主要研究方向为装备可靠性与系统工程。

E-mail：afeuczy＠163．com

陈云翔（1962-），男，教授，博士，主要研究方向为装备管理与决策、装备维修保障。

E-mail：cyx87793＠163．com

项华春（1980-），男，副教授，博士，主要研究方向为装备可靠性与系统工程。

E-mail：646297491＠qq．com

董骁雄（1990-），男，硕士研究生，主要研究方向为装备维修保障。

E-mail：zzz_699699＠126．com

1001-506X（2015）01-0219-05