从2015年莆田市高中毕业班教学质量检查理科数学一道题谈起

许月珠

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）05-0137-02

一、试题展示

已知函数f（x）=lnx+■ax2+b（a，b∈R）.

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=-1，求函数f（x）的单调区间;

（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调;

（Ⅲ）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x2>x1>0）是曲线f（x）上的两点，试探究：当a<0时，是否存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f′（x0）？若存在，给予证明;若不存在，说明理由。

本小题在数学能力方面考查了运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力;在数学思想方面考查了函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.试题通过对函数的切线、割线及单调性的研究，考查了导数的几何意义、运算及应用;试题在推理论证过程中还巧妙地考查了零点存在性定理;本试题的求解对学生的知识水平和能力水平均提出较高的要求，完整的解答对于刚结束高三第一轮复习的学生而言具有一定的难度系数。

答案展示：（Ⅰ）略;（Ⅱ）略;（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f′（x0）.证明如下：令g（x）=lnx-x+1（x>0），则g′（x）=■-1，易得g（x）在x=1处取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，从而得lnx≤x-1. （？鄢），

由■=f′（x0），得■+■a（x2+x1）=■+ax0.

令p（x）=■a（x2+x1）-ax，q（x）=■-■，则p（x），q（x）在区间[x1，x2]上单调递增.

且p（x1）=■a（x2+x1）-ax1=■a（x2-x1）<0，

p（x2）=■a（x2+x1）-ax2=■a（x1-x2）>0，

结合（？鄢）式可得，

q（x1）=■-■=■-■<■-■=0，

q（x2）=■-■=■-■>■-■=0.

令h（x）=p（x）+q（x），由以上证明可得，h（x）在区间[x1，x2]上单调递增，且h（x1）<0，h（x2）>0，所以函数h（x）在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0，即■+■a（x2+x1）=■-ax0成立，从而命题成立。

二、题海寻踪

2009年福建省质检理科 20. 已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R

（Ⅰ）求函数f（x）的极值;

（Ⅱ）对于曲线上的不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果存在曲线上的点Q （x0，y0），且x1

（ⅰ）求证：曲线y=f（x）的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的;

（ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有■-伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论; 若不存在 ，说明理由。

评注：此题（Ⅱ）中（ⅰ）的设问同上，不同的是其曲线方程较上面简单。

2009年福建省高考理科数学20.已知函数f（x）=■x3+ax2+bx，且f′（-1）=0

（1）试用含a的代数式表示b，并求f（x）的单调区间;

（2）令a=-1，设函数f（x）在x1，x2（x1

（I）若对任意的m∈（x1，x2），线段MP与曲线f（x）均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论;

（II）若存在点Q（n ，f（n））， x≤ n< m，使得线段PQ与曲线f（x）有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）

评注：此题从题面上虽然与上面不同，但依然是以研究函数的切线与割线的问题。

三、理论依据

本试题虽然可以利用中学的数学知识解决，但具有高数背景，是拉格朗日中值定理在中学数学中的应用，是“高观点”下的中学试题的编制。近年來随着高校教师人数在高考试题命制比例的增大，这类试题常受到命题者的青睐，成为高考中一道亮丽的风景。

拉格朗日中值定理的几何意义：在（a，b）上连续且可导的函数f（x），函数上必有一点的切线与f（x）在x=a，x=b处对应的两点（a，f（a））和（b，f（b））点的连线平行■=f′（？孜），等号前为x=a，x=b对应两点的连线斜率，等号后为f（x）上一点的导数的值，也就是f（x）上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。上题满足定理条件，因而结论是显然的，可看作是拉格朗日中值定理的特殊化，是高中数学背景下的定理的证明。

四、教学建议

人们常用“题海”这个词来形容题目的多，因此我们没有精力来关注“题海”中的每一成员，但又如何能使我们每个人在题海中游刃有余、自由翱翔呢？我觉得只有重视数学概念的学习，体会概念的生成，理解概念的外延与内含，挖掘其几何意义才能举一反三，以不变应万变，才是我们学习中的“上道”。

参考文献：

[1]吴旻玲.高考中的拉格朗日中值定理，工科 201207《中学教研（数学）》