理性边界的形成与突破:以圣彼得堡悖论演进为视角

■丁 浩 付 敏

理性边界的形成与突破:以圣彼得堡悖论演进为视角

■丁 浩 付 敏

根据期望值理论，理性的决策者应当以财富的多少衡量收益，以概率衡量结果出现的可能性，采用期望值最大化原则作为决策依据。然而，圣彼得堡悖论的出现却突破了期望值理论确立的理性边界，根本原因在于，期望值理论将影响决策的主、客观因素完全割裂，忽视了决策行动的主体性特质。财富、概率等客观因素并不能直接作用于决策行动，而必须依靠一种主体性转化，即转化为决策者对这些因素的认知结果。因此，要消解圣彼得堡悖论，进而确立合理的理性边界，就必须准确把握和刻画这种转化的机理。期望效用理论主张用“效用”来衡量收益，在客观财富与主观认知之间架起一座桥梁，在理性边界的认识上实现重大飞跃。前景理论继承了期望效用理论的研究路径，采用价值函数与决策权重，为主体性转化提供了丰富和细致的内容，在更深层次上推进了决策理论对理性边界的探索。

圣彼得堡悖论；理性边界；效用；期望效用理论；前景理论

丁 浩，广东外语外贸大学商学院副教授，博士。（广东广州 510420）

付 敏，西南财经大学人文学院讲师，博士。（四川成都 611130）

悖论是指一种理论事实，即“从明显可接受的前提，通过明显可接受的推理，导出了一个明显不可接受的结论”［1］(P1)。 其中，“明显可接受的推理”是逻辑上的要求，“明显不可接受的结论”是对悖论事实最直接的指认，它既可以是理论自身的矛盾性结论，也可以是理论与现实之间的明显冲突。本文考察的圣彼得堡悖论的悖论性主要体现在后一层面。“明显可接受的前提”则指向悖论得以形成的根源。既然结论不可接受，根据逻辑归谬法则，前提中必定包含了某个或某些已被接受但实际上 “不应”被接受的部分。而所谓解悖，即悖论的解决或消解，就是通过去除或修正这些被误以为正确的前提，使得这样的结论不再出现。

圣彼得堡悖论存在于赌博游戏中，根据期望值理论，参与者会付出无穷多的钱来获得游戏机会，而实际上他们愿意支付的却很少。该冲突的产生先在地依赖于人们关于理性的观念，其实质是期望值理论把握的理性边界与实际行为理性的严重背离。为了解决这一问题，人们逐渐将注意力转向影响现实决策行为的各种主、客观因素，探讨其作用机理以及如何对其做出精致的刻画，这直接促成了决策理论的产生与繁荣，也推动了人们对理性边界的探索不断深入。

一、理性边界Ⅰ的形成与突破：从期望值理论到圣彼得堡悖论

由于资源的稀缺性和决策行为的非可逆性，人们往往面临着如何进行选择的问题，而选择的依据及评价标准即所谓的理性。根据环境的确定与否，决策可以分为确定条件下的决策和不确定条件下的决策。在确定条件下，人们用财富的多少来衡量收益，这一依据使得人们的决策十分简单，理性体现为对财富较多者的选择。在不确定条件下的决策问题则较为复杂，可以追溯到古老的赌博问题，对赌博问题的研究促进了概率理论的产生和发展。在可以不断重复的赌博中，如何衡量赌局的公平①问题成为早期学者研究的主要内容，其中最著名的便是15世纪Pacioli提出的“点数”问题②：

A和B在进行一场公平的赌博游戏，该游戏分为多局，有且只有一方会在一局中获胜，获胜方增加1分，未获胜方不得分。当一方累积分值为6时，该方获得全部赌筹。现在由于某种原因，他们不得不停止游戏，此时A和B的比分为5：3，问应该如何在A和B之间分配赌筹？

在“点数”问题提出后的一个半世纪里，许多著名的学者试着给出解答，其中包括Pacioli本人以及Cardano，但他们的解答均不理想。1654年，这一问题最终由Pascal和Fermat在他们之间的通信中解决，其基本理念是假设游戏继续进行下去，那么各方预计能得到的财富将如何。假设A和B的赌博能力相当，即每一局两人获胜的概率均为1/2，那么A和B预期的收益将分别为总赌筹的7/8和1/8，即二者分配赌筹的比例应该为7：1。

在上述解答“点数”问题的过程中，Pascal和Fermat提出了“期望”这一重要概念。这实际上提供了一种判定决策理性与否的标准，为以示区分，笔者称之为“理性边界Ⅰ”，在这一边界上，采用期望值理论成为不确定条件下决策的依据：

理性边界Ⅰ（期望值理论）：理性的决策者采用财富的多少衡量收益，采用概率衡量每种结果出现的可能性，采用期望值最大化原则作为决策依据。

自期望值理论提出后，人们严格按照期望收益最大化的原则来做出决策。然而，以此来界定理性是否合理呢？Nicholas Bernoulli在1728年提出的圣彼得堡悖论 （St.Petersburg paradox）将这一质疑推向极致，该悖论从讨论一个赌博游戏开始：

在A和B之间进行一场赌博游戏，由A连续掷硬币直至硬币正面朝上为止。如果A在第1次掷出正面，那么B付给A硬币1枚；如果A在第2次掷出正面，那么B付给A硬币2枚；以此类推，每多掷一次，B需付给A双倍的硬币，即A在第n次掷出正面，那么B须付给A硬币n枚。问题是，A应该付多少钱来参加这个游戏才能保证游戏的公平？

由期望值理论可知，为保证游戏的公平，A肯付出的钱数应该等于该游戏的期望值。假设硬币是均匀的，那么第n次掷出正面的概率为1/2n，该游戏的期望值为：E=∑ （1/2n)×2n-1=∑ 1/2=∞，即A肯付出的钱数为无穷大。然而，事实上，A只愿意支付很少的钱来获得这样一个游戏机会。理论与现实产生了冲突，换言之，对现实的理性决策者来说，该理论的结果是“明显不可接受的”。悖论的出现表明，期望值理论并未成功刻画人们的决策行动，更无法为后者提供依据，理性边界Ⅰ被突破了。

二、理性边界Ⅱ的形成：期望效用理论

既然理性边界Ⅰ被突破了，那么理性的标准到底应该是什么呢？在不断反思中，人们重新思考使用财富来衡量收益是否恰当，以及在此基础上以期望值最大化为依据是否合理。

Daniel Bernoulli（下文中用Bernoulli特指）在详细分析圣彼得堡悖论后认为，不确定条件下的决策不应当以财富的多少来衡量收益，而应该是财富的函数，即财富给人们带来的主观满足程度的大小，他称之为 “心理期望”（moralexpectation）［2］(P24)，即通常所说的“效用”。这一观点在学术界得到了广泛认同，因为人们在决策时，看重的是结果带给自身的满足程度，这种满足程度虽然与财富有关，但并非直接与财富画等号，两元钱带来的满足并不等于一元钱带来满足的两倍。效用概念的提出使得人们对收益的衡量从之前的财富的多少推进至效用的高低。

效用概念提出后，人们进一步探讨这个“财富的函数”应当具有什么样的性质以及能否确定具体的函数形式。Bernoulli认为,游戏参与者原有财富影响着效用，在不同的原有财富状况下，增加同样的财富而相应增加的效用是不一样的，即“同样一枚金币对一个乞丐的意义远远大于对一个富翁的意义。”他主张采用对数函数来描述效用，其基本思路是，如果财富有一个微小的增量，那么相应的效用函数增量应当与已积累的财富成反比，即dU=(b/x)dx，b为常数且大于0。Bernoulli通过几何证明得出③U(x)=a+blnx，a为常数。定义w为原有财富，易知U(w)=0，求解得出a=-bln(w)，由此得出效用函数的形式为：

Bernoulli采用对数函数描述效用，在某种程度上完成了对效用函数性质的初步界定，即人们普遍具有的风险厌恶属性。回到圣彼得堡游戏，第n次掷出正面可获得的财富为：w+2n-1，这些财富可带来的效用为：

该游戏的期望效用为：

证明得出该式是有界的④，即EU＜∞。这样，Bernoulli声称借助对数效用函数解决了圣彼得堡悖论⑤。

Bernoulli的努力转变了长期以来人们专注于客观财富多少的思路，将财富带给人们的主观感受（效用）引入决策理论，这是决策理论的重大飞跃。同时，他最早提出边际效用递减思想，以此作为效用函数的重要性质，并采用对数效用函数进行了具体的刻画。但是，为什么要将效用和财富之间设定为对数关系，他并没有提供严格的逻辑论证或经验事实的支持。

由于上述原因，Bernoulli的效用理论曾一度被放弃。直至1944年，von Neumann和Morgenstern为了建立和发展博弈论，需要设定衡量不同收益大小的支付函数，他们采纳了Bernoulli使用效用来衡量收益的观点，但主张从一般意义上对效用函数进行界定。他们从个体的理性偏好出发，使用逻辑和数学工具建立了期望效用函数的严格公理化体系。［3］(P15)

von Neumann-Morgenstern公理的出发点是一个“未定结果空间”L，它是由“确定结果空间”中的向量x、y等构成的组合(x,y,p)和更高层次的组合构成。组合(x,y,p)表示以概率p得到x，以概率1-p得到y，概率p∈［0,1］。在空间L上定义茴为一个偏好关系，~为偏好无差别。

在该公理化体系中，决策者的理性由完备性、传递性、连续性和独立性四条公理来保证。如果四条公理均得到满足，则在空间L上存在（在至多相差一个仿射变换意义下⑥）唯一的期望效用函数EU，满足：

x茴y当且仅当U(x)叟U(y)

此时，组合的期望效用为：

von Neumann和Morgenstern建立的期望效用理论公理体系解决了效用函数的存在性问题，当决策者为理性时，效用函数存在，且决策者依据期望效用最大化的原则去决策。这一标准化的理论实际上重新界定了理性的边界⑦：

理性边界Ⅱ（期望效用理论）：理性的决策者采用效用衡量收益，采用概率衡量每种结果出现的可能性，采用期望效用最大化原则作为决策依据。

三、理性边界Ⅱ的突破：超级、行为圣彼得堡悖论

期望效用理论的最大优点在于理论体系的严密性与完整性，但这完全取决于四个公理化假设。这些假设与人们实际的决策行为是否相符，以此为标准进行决策是否合理呢？为此，我们进一步考察其解悖功能，看原有悖论是否能消解，以及是否会出现新的悖论。

在Bernoulli采用对数效用函数解决圣彼得堡悖论后的200年里，他的方案引起了广泛的争论，但直到Menger（1934）才真正受到撼动。Menger在Bernoulli的对数效用函数框架下，重构了圣彼得堡游戏：

在圣彼得堡赌博游戏中，保持其他情况不变，将第次掷出正面时B须付给A的硬币枚数调整为e2n-1，问题依然是A应该付多少钱来参加才能保证游戏的公平？［4］(P217)

若仍采用对数效用函数，新游戏的期望效用为：

期望效用再次变为无穷大，新的悖论出现，一般被称为“超级圣彼得堡悖论”（super St.Petersburg paradox）。

事实上，在满足von Neumann-Morgenstern公理化的条件下，仍然存在着效用函数U(x)，使得x→∞时，U(x)→∞。只要我们将游戏中的奖金额wn设得足够大，以使得U(wn)叟2n-1，EU仍将趋向于无穷大，即悖论再次出现⑧。

Menger进一步指出，除非效用函数有界，否则人们总是可以通过调整圣彼得堡游戏的金额，使得新游戏的期望效用为无穷大，从而产生新的悖论。而当期望函数有界时，则存在一个数值W*，使得任意的U(W)均小于W*，在这样的假设下，EU燮W*/2+W*/4+…+W*/2n+…=W*，上述矛盾不再出现。

Menger的贡献是巨大的，自此之后学者们的研究大都限定在效用函数有界这样一个框架之下。虽然通过有界的效用函数可以使（超级）圣彼得堡游戏的期望效用有限，但Menger进一步指出，即使在这样的情况下，期望效用值仍然与游戏者实际愿意支付的财富存在较大偏差，笔者将之命名为 “行为圣彼得堡悖论”（behavioral St.Petersburg paradox）。

行为圣彼得堡悖论的出现使我们不得不重新审视这一系列悖论产生的根源。理性边界Ⅰ和Ⅱ均假设决策者的完全理性 （经济人理性），而期望效用理论通过四个基本假设对完全理性做出了精致的刻画，在完全理性的情况下，决策者必然将最大化期望效用作为其决策依据。其直接结果是决策者能够对未来做出预测，在认知上则体现为他具有完备的知识，完全掌握决策涉及的一切信息。逻辑上完美的期望效用理论却无法消解行为圣彼得堡悖论，这似乎说明它对理性的要求太强了，由于受到客观条件、认知能力的限制，以及各种心理因素的影响，现实的决策行为并不总能达到完全理性，但这些不能达到完全理性的决策行为并不能被全部看作非理性⑨。因此，决策理论面对的理性行为应当比期望效用理论所处理的要宽泛得多，既包括完全理性行为，也应当包括那些不完全的但人们普遍认为合理的行为，不妨把这两类理性统称为“行为人理性”。

除行为圣彼得堡悖论外，Allais悖论［5］(P503)和Ellsburg悖论［6］(P643)也进一步展现了完全理性假设与现实行为之间的巨大鸿沟，而这是期望效用理论本身难以逾越的。正因为如此，Simon认为：“从观念上讲，期望效用模型是理应在柏拉图精神乐园中占有显要地位的精美作品，但是要原原本本地用它去制定实际决策，却面临着许多无法克服的困难， 因而是不可能的。”［7］(P170)那么，要实现不确定条件下更加科学合理的决策，我们就应当从“柏拉图的精神乐园”中走出来，充分考虑并刻画影响决策的各种主、客观因素及其作用机制。

实际上，相较于期望值理论，期望效用理论已经在这条道路上迈出了重要的一步。它所采用的“效用”概念极具主体性色彩，这标志着人们对“理性”的研究不再拘泥于财富的客观值，而转向了决策者自身。其合理性在于，决策在本质上是一种主观行动，直接作用于它的，并非财富等客观因素本身，而是决策者对这些因素的认知结果。虽然理性边界Ⅱ没有跳出完全理性的窠臼，但效用的引入却在一定程度上刻画了主体之间的差异性，可以视为对理性边界Ⅰ所要求之完全理性的弱化。同时，这也带来了一个重要的启示：要削弱理性边界的“完全性”特征，就必须对决策者的认知做更全面、更细致的分析。例如，损失恐惧心理的普遍存在，使得收益和损失对人们心理造成的冲击具有非对称性，这将直接影响决策者对未来不同结果的评价，因而是探讨理性边界所需考虑的因素。Kahneman和Tversky开创的前景理论（prospect theory）［8］(P263)便是在这一背景下提出的。

四、理性边界Ⅲ的形成及解悖前瞻：前景理论

前景理论认为，人们决策的依据取决于特定状态的变化，也就是说，在偏离某一特定状态的情况下，产生的“获利”与“损失”对于决策有很大的影响。前景理论的一个核心概念是价值函数（value function），它是获利或损失的函数，即衡量获利或损失带给人的满足的大小。虽然价值函数不同于衡量财富带给人满足大小的效用函数，但本质而言，仍然是衡量人们对结果的主观感受，可以将价值函数视为效用函数的继承和发展。

在前景理论中，价值函数存在着拐点，这个拐点被称为参考点。当出现获利时，决策者遵从“风险厌恶”准则，即满足现在的获利（如卖掉持有的股票）；而当出现损失时，决策者遵从“风险偏好”准则，即当损失出现时，决策者对风险的容忍度增加，会等待情况改变 （如继续持有股票）。同时，价值函数还揭示了人们对损失规避的倾向，在面对相同幅度的损失和获利时，人们对损失的在意程度远高于获利。

那么，在依据价值函数进行决策时，如何衡量不同结果的影响呢？前景理论引入了基于决策者主观意识的“决策权重”（decision weight）概念。大量的心理学试验表明，从不可能事件到可能事件，或者从可能事件到确定事件的变化产生的作用，大于从可能事件到可能事件的同等变化而产生的作用，即决策权重存在“类别边际效应”（category boundary effect）。而且，人们往往对概率低的事件评价较高，而对概率大的事件则评价较低。这样，同客观概率没有偏差的45度线相比，决策权重曲线呈扭曲形状。

结合价值函数和决策权重函数，前景理论采用期望价值衡量决策者主观感受到的价值，即：EV=∑π（pi)vi(x)。其中，π(pi)为决策权重函数，它是客观概率pi的函数，vi(x)为第i种情形时的价值函数。这样，如何最大化期望价值便成为决策者的依据：

理性边界Ⅲ（前景理论）：决策者采用价值函数衡量收益，采用决策权重衡量每种结果出现的可能性，采用期望价值最大化原则作为决策依据。

理性边界Ⅲ充分考虑了人们决策时的主观因素，参考点反映了人们对得失的判断依据，即人们看重的不是最终结果，而是结果与参考点之间的差额，价值函数反映了人们的损失厌恶心理，决策权重则反映了人们对事件发生概率的主观判断。前景理论更加真切地描述了人们的心理，可以很好地解释传统金融工程学与经济学中的异常现象，事实上亦成为人们广泛采用的决策依据。

前景理论构成了行为金融学的核心内容，行为金融学的发展与完善又促进了行为经济学的产生与繁荣。行为经济学承认，在完全理性的假设下，期望效用理论仍然起作用，但强调不确定条件下的决策更多地为有限理性所支配，从而引领人们去建立偏离完全理性的思考方式，将理性的有限性这一长期被主流经济学忽视的问题，重新拉引到人们的视线之内。以前景理论为核心的行为金融学、行为经济学也逐渐受到主流经济学界的关注与认可，2002年，“因为将心理学研究结合到经济学中，特别是关于不确定条件下的人类判断和决策”，Kahneman和Smith两位行为经济学的代表人物被授予诺贝尔经济学奖。

由于前景理论并没有考察获利为无穷大时的情形，同时不满足随机占优，Tversky和Kahneman进一步提出了累积前景理论（cumulative prospect theory）以弥补这两方面的不足［9］(P297)。至于累积前景理论能否最终解决一系列圣彼得堡悖论，仍值得进一步探讨。

五、结论与启示

决策理论的基本任务，是以量化方法研究人们现实的理性决策行为，刻画理性边界，并为决策提供科学合理的理论依据，因此，决策理论的核心工作在于把握影响决策行为的一系列关键因素以及它们之间相互作用的机理，把握得越准确，刻画得越精致，就越接近于现实的决策理性。这些关键因素，既可能来自于客观层面，也可能来自于主观层面。在理性的决策行动中，这两个层面并非各自孤立，而是相互影响，共同发挥作用。

在期望值理论确立的理性边界Ⅰ中，决策者如何选择，取决于财富的客观值及其出现的客观概率。因而，客观因素直接作用于决策行动。而上文的分析表明，这样的作用事实上无法实现。决策在本质上是一种主观行动，制约它的并非各种客观因素本身，而是决策者对这些因素的认知结果。因此，要把握客观因素的作用机理，就必须对其进行一种主体性转化，考察决策者实际的认知状态。此时，应当进一步考虑如下差异性：其一，认知结果与认知对象实际状态的差异；其二，不同主体间的认知差异。理性边界Ⅰ片面强调财富和概率的客观性，忽视了决策行动的主观性，并以客观性作为决策的唯一标准，其结果是主体与世界被完全割裂，理论与现实难以统一，这正是圣彼得堡悖论产生的根源。

因此，悖论能否避免，取决于我们能否恰当地刻画上述主体性转化机制。期望效用理论采用具有明显主体性特征的“效用”概念来衡量收益，在客观财富与主观认知之间架起了一座桥梁，这是决策理论研究的重大突破。在此基础上，主观期望效用理论对概率也做了主体性转化，影响决策的不再是概率本身，而是决策者对概率的认知结果（即主观概率），从而更全面地体现了上述差异性。

但是，（主观）期望效用理论对该机制的刻画并不彻底。具体而言，主要表现在如下两个方面：其一，决策者被假定为全知的，因而它所确立的理性边界Ⅱ是一种完全理性，而现实的决策者由于认知有限，其决策行为体现为一种有限的理性；其二，它对概率的主体性转化研究不够深入，决策者的理性行动并不直接依据于概率本身或他所认识到的概率，而是他对该认知结果的评价。可见，主体与世界的割裂仍然存在，因而它会遭到超级行为圣彼得堡悖论的“报复”。（累积）前景理论继承了期望效用理论的主体性转化机制，虽然没有明确显示是否已经完全消除了“全知”这一预设，但它采用对赢利或损失的主观感受来衡量收益，更加贴近现实，丰富了有限理性的内容，通过引入更具主体性色彩的“决策权重”，实现了对可能性这一因素的二度转化，进一步缩短了主、客观的距离，因而在更深层次上推进了决策理论对理性边界的探索。

注释：

①公平是指赌博各方的输赢金额和机会均等，期望值概念提出后，即指期望值为0的赌博，若某场赌博中，某人所赢钱的数学期望值大于0，那么此人需要先交出等于期望值的钱来参加赌博，才可以保证赌博的公平。

②这一问题最早在Pacioli的《算术、几何及比例性质摘要》一书中记载，本文在表述时给出更详细的游戏规则说明。

③通过求解微分方程，亦可得到相同的结果。

④证明如下：ln［(w+2n-1)/w］=ln(1+2n-1/w)＜ln(2n/w)=nln2-lnw＜nln2，因此，bln［(w+2n-1)/w］2n＜bnln2/2n，由于an=bnln2/2n是正项级数bnln2/2n是收敛的，因此，是收敛的，证毕。

⑤值得注意的是，Bernoulli仅消除了圣彼得堡悖论期望收益无穷大这一层矛盾，并没有彻底消解该悖论，详见本文第三部分。

⑥通过仿射变换将效用函数U(x)变换为aU(x)+b，a＞0，此变换不改变偏好次序，且衡量风险厌恶程度的Ar-row-Pratt指数-U′(x)/U″(x)保持不变。

⑦期望效用理论采用的是客观概率，Savage（1954）进一步引入主观概率，提出主观期望效用理论（subjective expected utility），该理论是对期望效用理论的补充和发展，但在总体结构上仍是一致的。

⑧Menger曾向Morgenstern介绍这一理念，Morgenstern也成功说服von Neumann在 《博弈论与经济行为》中注重考虑效用的规范性处理，在该书的第二版和第三版中加入了对公理化体系的严格设定，但这一设定仍未能解释此处再次产生的悖论。

⑨Simon认为，非理性代表着没有进行适当思考时对不确定性机制的条件反射，如冲动、情绪化等。Simon关于非理性的研究，直接影响了行为经济学的代表人物Kahneman和Tversky，参见D.Kahneman.Maps of Bounded Rationality:Psychology for Behavioral Economics.In:The American Economic Review,2003,93(5):1449-1475.

［1］R.M.Sainsbury.Paradoxes(2nd ed.).Cambridge:Ca mbridge University Press,1995.

［2］D.Bernoulli.Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis.Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitannae,1738,(5).Translated from Latin into English by L.Sommer.Exposition ofa New Theory on the Measurement of Risk.Econometrica,1954,(22).

［3］J.Von Neumann and O.Morgenstern.Theory of Games and Economic Behavior.Princeton:Princeton University Press, 1944.

［4］K.Menger,DasUnsicherheitsmomentinderWertlehre. Zeitschrift für Nationaloekonomie,1934,(5).Translated from GermanintoEnglishbyW.Schoellkopf.TheRoleofUncertainty in Economics:Essays in Mathematical Economics in Honor of OskarMorgenstern.editedbyM.Shubik.Princeton:PrincetonUn iversityPress,1967.

［5］M.Allais,Le comportement de l’homme rationnel devant le risque:critique des postulats et axiomes de l’école Américaine.Econometrica,1953,(21).

［6］D.Ellsberg.Risk,Ambiguity,and the Savage Axioms. Quarterly Journal of Economics,1961,(4).

［7］H.A.Simon.Theories of Bounded Rationality.edited by C.B.Radner and R.Radner.Decision and Organization. North-Holland:Amsterdam,1972.

［8］D.Kahneman and A.Tversky.Prospect Theory:An Analysis of Decision under Risk.Econometrica,1979,(2).

［9］A.Tversky and D.Kahneman.Advances in Prospect Theory Cumulative Representation of Uncertainty.Journal of Risk and Uncertainty，1992,(5).

【责任编辑：赵 伟】

B80；F091

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1004－518X（2015）12－0011-07

国家社科基金项目“关于主观资产组合模型的行为金融理论建构与方法研究”（11BJY013）