一道2014年高考数学安徽卷试题的推广与简证

2015-06-15安徽省合肥市第六中学周天明邮编230001

中学数学教学 2015年3期

安徽省合肥市第六中学周天明 (邮编：230001)

安徽省合肥市第六中学周天明 (邮编：230001)

文[1]通过对2014年高考数学安徽卷理科第15题的研究，提出了对该题的推广和反思，并对所给的两个推广，利用局部调整法给出了证明.笔者受益匪浅，但美中不足的是文中有一处错误，而且笔者总感觉，文中所给证明方法太过繁琐.经过思考，笔者得到较为简单的证明方法.

推广1 已知两个不相等的非零向量a、b,两组向量x1、x2、…、xm+n和y1、y2、…、ym+n均由m个a和n个b排列而成.(m≤n,m,n∈N+)，记S=x1·y1+x2·y2+…xm+n·ym+n，

由此，我们不难得到：

②S有m+1个不同的值，分别是S0、S1、…、Sm;

⑤Smax=Sm=ma2+nb2，Smax与a、b的夹角无关;

推广2 已知两个不相等的非零向量a、b,向量x1、x2、…、xm+n由m个a和n个b排列而成.向量y1、y2、…、ym+n由k个a和l个b排列而成.(m+n=k+l,k≤m≤n≤l、k、m、n、l∈N+)，记S=x1·y1+x2·y2+…xm+n·ym+n，

由条件可知，x1·y1、x2·y2、…、xm+n·ym+n都只可能取a2,b2，a·b之一，记Si(0≤i≤k,i∈N)为x1·y1、x2·y2、…、xm+n·ym+n中恰有i个取a2时的S.即第一组i个a与第二组的i个a配对，第一组其它m-i个a都与第二组的m-i个b配对，第二组其它k-i个a都与第一组的k-i个b配对，最后第一组剩余的n-k+i个b与第二组剩余的n-k+i个b相互配对.