赏析高考函数创新题

2015-06-05王新宏

中学生理科应试 2015年4期

王新宏

纵观2014年的高考试卷，出现了不少函数创新试题，这类试题新颖别致，构思精妙，极富思考性和挑战性，同时解法更灵活，考查更全面，思维更广阔，给人耳目一新的感觉，这类问题的解答是一种艺术的体现，也是智慧的表现.只有多方着力，寻求转化与突破，方能“会当凌绝顶，一览众山小”.为此本文就这类函数创新试题进行透视剖析，探索解决问题的规律与方法.

一、“定义型”函数创新试题

“定义型”函数创新试题是指通过给出阅读材料，设计一个陌生的数学情境，引出一种函数新概念，一种新函数的定义，一个函数新性质的试题，是近几年高考函数创新试题命题的一种趋势.求解“定义型”函数创新试题首先要读懂题意，准确理解给出的新定义；然后利用已学知识把其转化为熟悉的数学问题，胆大心细，追根溯源，变“柳暗”为“花明”，化“复杂”为“简单”地解决问题.

1.函数新概念

画出以上三种情形的图象，即可知选项A正确.

点评此题形式新颖，细看背景熟悉，由椭圆定义演变，嫁接而成，给人耳目一新之感；考查对新概念的理解和应用，意在考查考生处理新问题的能力，转化与化归的能力，数形结合能力；有效地检测了考生对中学数学知识所蕴含的数学思想和方法的掌握程度以及考生今后的学习潜能.

例2（2014年湖北理科第14题）.设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）>0，对任意a>0，b>0，若经过点（a，f（a）），（b，-f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为a，b关于函数f（x）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（x）=1（x>0）时，可得Mf（a，b）=c=a+b2，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数.

（1）当f（x）=（x>0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；

（2）当f（x）=（x>0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数2aba+b；

（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

分析透彻理解函数f（x）的平均数Mf（a，b）的概念是求解的关键，为此此题要类比推理求解.

解设A（a，f（a）），B（b，f（b）），C（c，0），则三点共线；

（1）依题意，c=ab，则0-f（a）c-a=0+f（b）c-b，即0-f（a）ab-a=0+f（b）ab-b，因为a>0，b>0，所以化简得f（a）a=f（b）a，故可设f（x）=x（x>0）；

（2）依题意，c=2aba+b，则0-f（a）2aba+b-a=0+f（b）2aba+b-b，因为a>0，b>0，所以化简得f（a）a=f（b）b，故可设f（x）=x（x>0）；

点评此题考查考生接受新知识并应用新知识解题的能力以及类比推理能力，是一道难易适中，意隽味浓的信息迁移试题；当然解决本题需要一定的知识储备与数学灵气.

2.定义新函数

例3（2014年山东理科第15题）.已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x））.（x，g（x））关于点（x，f（x））对称，若h（x）是g（x）=4-x2关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）>g（x）恒成立，则实数b的取值范围是.

解析函数g（x）的定义域为[-2，2]，根据已知得：f（x）=h（x）+g（x）2，所以

h（x）=2f（x）-g（x）=6x+2b-4-x2，因为h（x）>g（x）恒成立，即6x+2b-4-x2>4-x2恒成立，即3x+b>4-x2恒成立，为此令y=3x+b，y=4-x2，则只要直线y=3x+b在半圆x2+y2=4（y≥0）的上方即可，由|b|10>2，得b>210（舍去负值），故实数b的取值范围是（210，+∞）.

点评此题主要考查“对称函数”新定义，由点关于点的对称点定义演变而来，可以说背景熟悉公平，也考查了直线与圆的位置关系等基础知识；着重考查考生的阅读理解能力与解决含参数的不等式恒成立问题的能力，也考查了考生在新环境下的创新意识.

3.函数新性质

例4（2014年四川理科第15题）.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“b∈R，a∈D，f（a）=b”；

②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）B；

④若函数f（x）=aln（x+2）+xx2+1（x>-2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.

其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）

解析对于①根据题中定义，f（x）∈A等价于y=f（x），x∈D的值域为R，由函数值域的概念知，函数y=f（x），x∈D的值域为R等价于b∈R，a∈D，使得f（a）=b，所以①正确.

对于②，例如函数f（x）=（12）|x|的值域为（0，1]，包含于区间[-1，1]，所以f（x）∈B，但f（x）有最大值，没有最小值，所以②错误.

对于③，若f（x）+g（x）∈B，则存在一个正数M1，使得函数f（x）+g（x）的值域包含于区间[-M1，M1]，所以-M1≤f（x）+g（x）≤M1，由g（x）∈B知，存在一个正数M2，使得函数g（x）的值域包含于区间[-M2，M2]，所以-M2≤g（x）≤M2，亦有-M2≤-g（x）≤M2，两式相加得-（M1+M2）≤f（x）≤M1+M2，于是f（x）∈B，这与“f（x）∈A”矛盾，故f（x）+g（x）B，即③正确.

对于④，如果a>0，那么x→+∞，f（x）→+∞，如果a<0，那么x→-2，f（x）→+∞，所以f（x）有最大值，必须a=0，此时f（x）=xx2+1在区间（-2，+∞）上，有-12≤f（x）≤12，所以f（x）∈B，即④正确，故填①③④.

点评本题主要考查考生的阅读理解能力，逻辑思维能力，分析和解决问题的能力以及创新意识；这道题情境新颖，运算量小，思维量大，有效地考查了考生数学思维的敏锐性，严谨性，深刻性与创造性等思维品质，故这道题区分度很好.

二、抽象函数型创新试题

抽象函数是指没有明确给出函数具体的解析式或图象，只给出与函数有关的一些条件或特征的函数.解抽象函数题，常用赋值法.

例5（2014年辽宁理科第12题）.已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：

点评试题解答较繁琐，要求考生不但理性淡定，不慌不忙，更需要有较好的心理承受能力与解决问题的野心.

高考函数创新题易错点警示：

（1）匆忙读题，未认真审题，未懂题意或一知半解，就乱作一通.

（2）读完题后，产生恐惧感，放弃不做或胡乱写一些.

（3）“三基”不扎实，想不到或找不到解决问题的方法.

（4）不会用等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想去分析、解决问题.

创新型问题始终是高考永恒的热点，函数创新题的实质是形式新颖，内涵丰富，以能力为立意，解决它们要沉着冷静，胆大心细，仔细读题审题，读懂题目，抓住问题的本质，应用等价转化，数形结合，分类讨论等数学思想方法，多方合力，就能得心应手，运筹帷幄，决胜于千里了.