计数法的演变及其对小学生数概念形成的启示

陈华中

摘 要：概念是数学基础知识的基本内容，数学知识中的性质、定理、公式、法则等内容的展开，都离不开数学概念，同时，数概念不是知识，也不是技能，而是认识客观事物与数时建立起来的一种意识，是人对“数”的敏锐、精确、丰富的感知和领悟。因此，本文考察了人类计数法的演变情况和数概念的形成原理，并探讨了其对儿童早期学习数概念的启示。

关键词：计数法；数概念；演变

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）03-320-01

数学始于数和形概念的产生，其详情无由稽考，但肯定不是一蹴而就的，其中凝聚着先民们的艰苦创造。认识数并把它们表示出来，这是人类最早的数学活动之一。由于脱离计数活动、数及其运算而独论记数是不可能的，所以有必要对它们的关系作若干规定和说明。

本文之数概指自然数。单个自然数乃一切等价有限集合之抽象，是通过反复的计数活动形成的。计数作为一种计量活动，其本质乃是把待计的有限集合与某个已知的标准集合（如手指的集合、数词的片断等）建立一一对应关系。而所谓记数，就是用某个符号系统表达或保存计数结果（即数）的一种活动。

很明显，计数和记数既是数学活动，也是语言活动。当计数在口头上进行时，语言中必得有数的名称；当记数采取书写的形式时，就需要数字符号。记数和计数唇齿相依，几乎是同时发生的，所以有必要简单分析一下计数法的演变情况。

最初的原始人类并没有数的概念，但能依据某种方式判断一个具体集合的大小发生了变化。这种觉察多寡的能力就是数的感觉，某些动物（鸟类、蜂类等）也有这种数觉本能。①当原始人的思维还不能对事物的关系和性质作精细的分析时，仅凭数的直觉还不可能把数和物体的其它性质分开，更不可能从物体的集合中抽象出来，这时的数概念是模糊而散漫的。后来，原始人能够分辨一、二和许多，渐至认识了等数性，于是动物所没有的计数活动在人类出现了，并真正导致数概念的产生。

当计数的对象不多时，人们用身边常见的物体，特别是自己身体上的器官和肢端作为比较的标准，是再自然不过的事了。其中屈指计数具有十分重要的意义。②这个阶段的数已被指明为物体集合的一个性质，但尚未从中抽象出来，计数的功能只是把一组物体的数量特征转移到另一组物体。原始人还没有认识到数列的潜在无穷性，对超过一定数目（比如手指个数）的数就不能计算了。

原始社会进化到稍有经济组织的时候，由于分配和交换的需要，人们计算大数的机会增多了。屈指计数不敷应用，就用石子、木棍、绳结等实物计数。这仍是在两组物体之间建立一一对应，但人类认识的数量增大了，并导致进位思想的产生。结合进位思想对实物计数法进行改良，人们又创造出各种计数工具，如算筹、算盘等。实物和工具计数法都适应了早期人类思维的直观性。

文字产生后，单个的数有了独立的名称，人们就用语言文字计数。数开始脱离物体集合而成为抽象概念，数与数之间有了运算。③最后，数概念在人们头脑中形成具有一定关系和规律的潜在无穷系统。

人类数概念的形成过程，对儿童学习计数和记数有一定的启示。小学低年级学生，较多应用“具体实例”、“直观特征”形式掌握概念，他们获得数概念的过程，往往是一个反复感知，辨认同类事物不同例子，分不同层次抽象概括其本质特征的过程。

一年级学生是这样形成10以内的数概念：数实物（使实物与数目相联系）→拨算珠（抽象出事物的数量特征，用有形的算珠代表事物）→读写数字（用抽象的数字代替算珠）→形成数概念。

随着数概念范围逐步扩展，在学习20以内、100以内、万以内数的认识过程中获得数概念的方式是基本相同的，但每个阶段具体要求是不同的，体现了从易到难、从简单到复杂的不同层次水平，从具体到抽象的顺序不断发展深化。下面就数数和读写数为例加以说明：

教学20以内认数时，在数实物的过程中突出“十”为单位的基础上一个个地数，孕伏计数单位“十”和“一”；在读写数的过程中要凭借实物图，从图、数的对应地读、写做起，以便突出20以内数的组成。

教学100以内认数时，数实物要分层进行：第一层从二十起一根根地数到100，弄清100以内数的顺序；第二层十根十根地数，数到100掌握整十数的顺序并感知10个十是一百；第三层接近整十数往下数，突破认识100以内数的顺序难点；第四层在数数的过程中凭借实物感知100以内数的组成，在读、写教学中不再依靠实物而是借助计数器。在感知数位的基础上形成读、写一般表象“都从高位起”。

教学万以内认数，有了100以内数认识的基础，同时由于数的再扩展，所以通过计数器半抽象地进行数数练习；在读、写数教学中要提高抽象概括的水平，如读数第一步通过656、3812两数读法总结出“从高位起”，按照数位顺序读，千位上是几千，……个位上是几就读“几”，第二步通过703、5006两数读法总结出“中间有一个0或两个0，只读一个零”，第三步通过400、8000两个数的读法总结出“末尾不管有几个0，都不读”，第四步通过3040读法，最后总结性概括读法。

参考文献：

[1] 袁小明.数学思想史导论[M].广西教育出版社，1991.3

[2] 许纯舫.中国算术故事[M].中国青年出版社，1963年第3版

[3] [美]M.克来因.古今数学思想（第一册）[M].上海科技出版社，1980.11