K／N（G）冗余结构下随舰备件配置方案

2015-06-05李庆民彭英武

系统工程与电子技术 2015年12期

关键词：备件舰船编队

周亮，李庆民，王睿，彭英武

（1.海军工程大学兵器工程系，湖北武汉430033；2.国防大学军事后勤与军事科技装备教研部，北京100083）

K／N（G）冗余结构下随舰备件配置方案

周亮1，李庆民1，王睿2，彭英武1

（1.海军工程大学兵器工程系，湖北武汉430033；2.国防大学军事后勤与军事科技装备教研部，北京100083）

针对舰船编队在航无补给的情况，对经典可修复备件多级管理（multi-echelon technology for recoverable item control，METRIC）模型进行了扩展，建立了舰船出航期间设备冗余和外场更换件冗余系统任务成功概率评估模型及备件优化模型。针对任务期间舰船设备和外场更换件最小工作数量随时间变化、编队任务成功概率难求的问题，采用超几何分布和二项分布结合的方法求取装备的瞬时可用度，进而求得舰船编队的任务成功概率。以任务成功概率为优化目标，备件总费用为约束条件，基于边际算法计算了备件方案。通过实例分析了在航编队任务成功概率随时间的变化曲线，曲线变化趋势与实际情况相符。

备件；冗余；任务成功概率；二项分布；边际算法

0 引言

舰船上装备类型多，结构复杂，采用K／N（G）冗余结构是提高舰船装备可靠性的重要手段。K／N（G）冗余系统是指由N个同型部件组成的结构系统，要求至少有K个部件正常工作。在舰船出航执行任务时，装备系统工作的状态和强度及同型设备的最小工作数量K随着时间不断变化。如舰船演习任务中，在起航和返航阶段，舰船没有战斗任务，火控雷达不工作，导航雷达工作；在演习阶段，导航雷达和多部火控雷达工作，随着演习内容的变化，装备和设备工作的状态和数量也在不断变化。由于编队在执行任务时，远离中心保障基地，中途没有补给。因此，如何给在外执行复杂任务的舰船编队配备合适数量的备件，直接影响着任务期间装备的使用可用度，进而影响编队完成任务的情况。

国内外学者对装备备件初始配备数量进行了大量的研究。国外针对多级连续保障模型，以装备可用度为优化目标，费用为约束条件，建立了可修复备件多级管理（multiechelon technology for recoverable item control，METRIC）［1］模型，为了完善功能，后来陆续开发了VARI-METRIC［2］、MOD- METRIC［3］、DYNA-METRIC［4］等模型，文献［5- 6］均是基于这些模型演变而来。但以上这些模型均不能计算短期内冗余系统的备件数量。文献［7- 8］建立了多任务阶段任意结构系统的备件可用度评估模型，但只针对外场更换件（line replaceable unit，LRU）冗余，且只适合于不可修备件，应用范围狭窄。文献［9］针对两层k／N冗余系统，采用超几何分布的方法求取供应可用度，但是不适合计算备件类型多的装备。文献［10］采用了有限源排队论和二项概率分布的方法对冗余系统供应可用度进行了求解。文献［11］采用拟合分布的方法求取冗余结构系统备件的配置。文献［12- 14］采用仿真的方法计算系统初始备件配备数量。文献［15- 17］对装备系统预防维修频率及备件配置进行了研究。文献［18- 20］研究了保障站点维修能力或维修资源有限情况下系统的可靠性。文献［21- 22］基于METRIC模型对多站点横向转运下备件配备进行了研究。

本文基于经典METRIC模型，根据舰船编队在外执行任务的特点，对模型进行扩展，将舰船分为装备、设备、LRU 3个层级，以编队任务成功概率作为评估指标，建立多任务阶段设备及LRU冗余结构下任务成功率评估模型及备件优化模型。首先求取任务期间内LRU短缺数概率分布，其次基于超几何分布求取设备满足要求的概率，再用二项分布的方法求取装备瞬时可用度，进而得到舰船编队的任务成功概率，最后以编队任务成功概率为优化目标、备件总费用为约束条件，优化编队随行备件方案。

1 模型的建立

1.1 模型假设条件

假设1不考虑LRU串件拼修，更换LRU的时间忽略不计；

假设2作战舰与保障舰之间实行（s－1，s）备件连续保障策略；

假设3LRU发生故障过程相互独立，且寿命服从指数分布；

假设4不考虑编队内部横向补给。

1.2 备件短缺数概率的计算方法

舰船编队在外执行任务，通常由多艘作战舰和一艘保障舰构成，保障舰是作战舰的上级保障部门，对备件部分可修，不可修的备件只有等到编队完成任务靠岸后得到补给。根据这种情况，现虚拟存在一基地级保障部门，作为保障舰的上一级，虚拟基地级备件存储量为0，LRU的修理概率Rol为0。编队在外执行任务时，可以将作战舰看成是基层级保障单位，保障舰看作是中继级保障单位，编队保障结构如图1所示。

图1 装备保障结构图

1.2.1 备件需求计算

当设备与LRU均处于冗余状态时，保障舰j备件LRUl的瞬时需求数Nejl（t）为

式中，Njzi为作战舰j下装备z中设备i的装机数；Njzil为设备i中LRUl的装机数；MTBFl表示l类LRU平均故障间隔时间。

1.2.2 作战舰LRU短缺数概率分布计算

（1）虚拟基地级LRU供应渠道计算

虚拟基地级备件存储量为0，不具备维修能力，其供应渠道为保障舰不可修备件。假设作战舰到保障舰的运输时间为tpkj，保障舰到虚拟基地级的运输时间为tpok，则虚拟基地级在t－tpok－tpkj时的短缺数会影响到t－tpkj时保障舰的备件补给。保障舰在t－tpkj时的短缺数会影响到t时刻作战舰的补给。令T0＝t－tpok－tpkj，T1＝t－tpkj。则基地级备件LRUl在T0时刻的在修数量RP0l（T0）为保障舰从tpok＋tpkj到T0时不可修备件的总和，即

式中，NRJjl、NRKl分别为作战舰和保障舰不能将备件LRUl修好的概率。

根据Sherbrooke库存平衡公式［9］：

式中，S是站点的初始库存量；OH（T0）是T0时刻站点现有库存量；DI（T0）是T0时刻站点在修数量，θ（T0）是T0时刻站点短缺数。结合式（2），可得T0时刻虚拟基地级LRUl短缺数E［θ0l（T0）］为

（2）保障舰LRU供应渠道计算

保障舰备件供应渠道分为3部分：一是作战舰不可修保障舰可修的备件；二是作战舰送修保障舰，保障舰不可修向基地级订购的备件；三是虚拟基地级备件短缺造成保障舰补给延误的部分。

设PKl（r，T1）是保障舰在r时刻开始修理LRUl，在T1时刻仍未修好的概率，PKl（r，T1）服从均值为1／MRTKl的指数分布，其中MRTKl是保障舰维修LRUl的平均时间。

根据动态帕尔姆定理，在修的数量和订购的数量分别服从均值和方差同为E［RPKl（T1）］和E［BKl（T1）］的泊松分布。

式中，RKl为保障舰LRUl可修的概率。

根据METRIC原理［9］可知，虚拟基地级备件短缺造成保障舰补给延误件数服从均值和方差为E［D0k（T1）］的泊松分布。

根据式（3）、式（6）、式（7）和式（8），可得保障舰LRUl供应渠道均值和方差均为E［DIKl（T1）］的泊松分布。

故保障舰LRUl备件短缺期望数E［θKl（Skl，T1）］为

式中，Skl为保障舰备件LRUl的初始配备量。

（3）作战舰LRU供应渠道的计算

作战舰LRU供应渠道分为3部分：一是作战舰在修LRU的数量；二是作战舰不能修送保障舰修理的订购数量；三是保障舰LRU短缺造成作战舰延误的数量。

作战舰j在t时刻在修数量和订购数量分别服从均值为E［RPJjl（t）］和E［BJjl（t）］的泊松分布。

式（11）中，RJjl为作战舰j备件LRUl的可修概率。式（12）中，PJjl（r，t）是保障舰在r时刻开始修理LRUl，在t时刻仍未修好的概率；PJjl（r，t）服从均值为1／MRTJjl的指数分布，MRTJjl为作战舰j维修LRUl所需要的平均时间。

T1时刻保障舰备件短缺造成t时刻作战舰j补给延误的数量服从均值和方差为E［DJjl（t）］的泊松分布：

t时刻作战舰j供应渠道服从均值和方差为E［DIJjl（t）］的泊松分布。

根据式（11）～式（16），可得作战舰j在t时刻备件LRUl供应渠道服从均值和方差为E［DIJjl（t）］的泊松分布，因此作战舰j短缺x个LRUl的概率P（θjl（Sjl，t）＝x）为

式中，Sjl为作战舰备件LRUl的初始配备量。

2 编队任务成功概率的计算方法

编队任务成功概率值取编队在任务期间瞬时任务成功概率的最小值，编队瞬时任务成功概率为任务阶段要求各舰船装备正常工作概率的乘积。设编队下有n艘作战舰，每艘作战舰下有m型不同的装备，每型装备中有d部不同的设备，每部设备中有v件不同的LRU，各作战舰处于串联的关系，不同型装备、设备、LRU均处于串联关系，编队装备层级结构如图2所示。

图2 装备层级结构图

设t时刻编队任务成功概率为ρs（t），作战舰j在t时刻完成任务的概率为ρsj（t），作战舰j下装备z在t时刻完成任务的概率为ρsjz（t），作战舰j下装备z在t时刻工作的可用度为Asjz（t）。

求取装备z在t时刻工作时的可用度Asjz（t）可分为两步：第一步先通过超几何分布求取装备z下设备i在t时刻的可用度Ai（t）；第二步根据二项分布求取装备z下要求kjzi个设备i正常工作的概率。装备z下有i型设备Njzi部，每个i型设备下有Njzil件LRUl，因此装备z下LRUl有Njzil·Njzi件。当装备z下LRUl总短缺数为x时，若设备i下LRUl短缺数为u，则剩下的x－u件LRUl分布在剩下的Njzi－1部设备当中，设备i中LRUl短缺个数μ的概率φil（μ，x，t）为

t时刻设备i中LRUl的满足要求的概率wil（t）为

因此，t时刻设备i的可用度Ai（t）为

一个i型设备在t时刻的可用度为Ai（t），当i型设备总数为Njzi，有y部i型设备工作良好的二项分布概率φiy（y，t）为

因此，装备要求i型设备满足要求的概率wi（t）为

故装备z工作时的可用度为

根据式（17）～式（25），可求得编队任务成功的概率。

3 备件优化方法

与其他算法相比，边际优化算法具有收敛速度快、计算精确等优点，是OPUS和METRIC软件的核心算法［9］。本文以编队任务成功概率为目标，备件总费用为约束条件，采用该算法对编队备件初始配置量进行优化，优化模型为

式中，C为备件总费用；cl为备件LRUl的价格；P0为预定编队任务成功概率值。

优化流程如下：

步骤1初始化保障舰和作战舰LRUl数量，Sj＝（0，0，0，0，…），Sk＝（0，0，0，0，…）。

步骤2 对所有的LRUl增加1个备件，分别代入评估模型得到编队任务成功概率值和总的备件费用，由此得到每个LRUl相应的边际效应值。比较每个LRUl相应的边际效应值，对边际效应值最大的LRUl所在的库存保留，其他LRUl减1个备件。

步骤3 当计算得到的编队任务成功概率值达到p0时，结束循环，否则回到步骤2。

4 案例分析

某编队由3艘相同的登陆舰和1艘补给舰组成，现列出每艘登陆舰中的4套装备系统，每套装备系统里的两型设备，每型设备里有两种不同的LRU，对同一LRU，3艘舰船具有相同的维修能力，各登陆舰到补给舰的运输时间相同。登陆舰及补给舰可靠性和保障信息如表1所示。现编队出海执行任务，任务时间为50天，根据装备系统的工作情况，可将任务分为4个阶段，不同登陆舰上同一设备和部件在相同任务期内的最小工作数量k相同，登陆舰1各阶段装备系统工作状态及设备和部件的k1zi／N1zi、k1zil／N1zil如表2所示。

表1 部件LRU的可靠性、维修性和保障性信息

表2 _各装备系统任务阶段工作状态以及设备和备件冗余情况表

上级要求编队任务成功概率为0.95，备件总费用在120万元以内。经边际算法优化后，编队备件配备方案如表3所示，从表3中得知，编队出海执行任务时并不需要携带所有备件。分析表1～表3中数据可得，备件随舰携带的数量与备件的寿命、舰船的维修能力、设备和备件的冗余、以及装备系统运行时间有关。

表3 编队任务成功率为0.95时编队备件配备方案

在表3备件方案下，编队任务成功概率随时间变化如图3所示，各装备完成任务的概率如图4所示。任务期间编队最小任务成功概率为0.951 5，备件总费用为106.7万元。分析图3和图4可以得出，在任务阶段一，编队的任务成功率较高，这是因为舰船装备z1和z2刚开始工作，装备的可用度较高；在任务阶段二，z1继续工作，z2停止工作，z3和z4开始工作，由于z3和z4工作强度大，且装备的可用度随时间下降的速度均比z2可用度随时间下降快，因此编队任务成功概率急剧下降；在任务阶段3，只有z4工作，其余装备均处于停机状态，故此时编队任务成功率迅速上升；在任务阶段4，由于z4持续工作，装备可用度随时间下降越来越快，加之z3开始工作，因此在任务阶段3到任务阶段4时，编队任务成功率下降速度较阶段3更明显。

图3 编队任务成功概率随任务天数

图4 装备z1、z2、z3、z4任务期间完成任务的概率随时间的变化

5 结论

本文建立了在航编队任务期间设备冗余和LRU冗余系统下任务成功概率评估模型和备件优化模型，解决了任务期间复杂结构装备使用可用度难求的问题。该模型不仅可以计算在航编队备件配备方案，也可以作为评估其他备件方案的模型。最后文章实例分析了在航编队执行任务成功概率随时间的变化，其变化情况与实际情况一致，可为编队出行初始备件配备提供参考。

［1］Sherbrooke C C.METRIC：a multi echelon technique for recoverableitem control［J］.Operations Research，1968，16（1）：122- 141.

［2］Slay F M.VARI-METRIC：an approach to model ling multi-echelon resupply when the demand process is Poisson with a Gama prior［R］.Report AF3013，Logistics Management Institute，1984.

［3］Muckstandt J.A model for a multi-item，Multi-indenture Inventory system［J］.Management Science，1973，20（4）：472- 481.

［4］Isaacson K E，Boren P，Tsai C L，et al.Dyan-metric version4：modeling worldwide logistics support of aircraft components［R］.DTIC Document R-3389-AF，1988.

［5］Ruan M Z，Peng Y W，Li Q M，et al.Optimization of threeechelon inventory project for equipment spare parts based on system support degree［J］.Systems Engineering-Theory&Practice，2012，32（7）：1624- 1630.（阮旻智，彭英武，李庆民，等.基于体系保障度的装备备件三级库存方案优化［J］.系统工程理论与实践，2012，32（7）：1624- 1630.）

［6］Lee H L.Modeling emergency lateral transshipments in inventory systems［J］.Management Science，1987，33（10）：1302- 1316.

［7］Guo J Z，Guo B，Zhang T.Maintence support capability evaluation and modelling of phased-mission system with dynamic k／n configuration［J］.Chinese Journal of Management Science，2006，14（10）：48- 51.（郭继周，郭波，张涛.k／n结构变化多阶段任务维修保障能力评估建模［J］.中国管理科学，2006，14（10）：48- 51.）

［8］Zhang T，Guo B，Wu X Y，et al.Spare availability model for k-outof-n system with different phases［J］.Acta Armamentarii，2006，27（3）：485- 488.（张涛，郭波，武小悦，等.K阶段变化条件下k／N：G系统备件保障度模型［J］.兵工学报，2006，27（3）：485- 488.）

［9］Sherbrooke C C.Optimal inventory modeling of systems：multiechelon techniques［M］.Boston：Artech House，2004.

［10］Lu L，Yang J P.Initial spare allocationmethod for k／N（G）structure system［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2014，35（3）：773- 778.（卢雷，杨江平.k／N（G）结构系统初始备件配置方法［J］.航空学报，2014，35（3）：773- 778.）

［11］De Smidt-destombes K S，Van Elst N P，Barros A I，et al.A spare parts model with cold-stand by redundancy on system level［J］.Computers&Operations Research，2011，38（7）：985- 991.

［12］Wang R，Li Q M，Peng Y W.Mission reliability estmation for warship based on simulation［C］∥Proc.of the Winter Simulation Conference，2009：1745- 1752.

［13］Xu T X，Wei Y，Yu R B.Modeling and simulation for spares inventory supply ability in oriented-mission［J］.Journal of System Simulation，2014，24（4）：922- 928.（徐廷学，魏勇，余仁波.面向任务的备件库存供应能力建模与仿真［J］.系统仿真学报，2014，24（4）：922- 928.）

［14］Lee L H，Chew E P，Teng S Y，et al.Multi-objective simulation-based evolutionary algorithm for an aircraft spare parts allocation problem［J］.European Journal of Operational Research，2008，189（2）：325- 341.

［15］Erik T S B，Sharareh T，Dragan B.A joint optimal inspection and inventory for a k-out-of-n system［J］.Reliability Engineering and System Safety，2014，131（6）：203- 215.

［16］Ramin M，Ming J Z，Mayank P.Optimal design and maintenance of a repairable multi-state system with standby components［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，2012，142（8）：2409- 2420.

［17］BoraÇ，SüleymanÖ.Optimal maintenance of systems with Markovian mission and deterioration［J］.European Journal of Operational Research，2012，219（1）：123- 133.

［18］Wu W Q，Tang Y H，Yu M M，et al.Reliability analysis of a k-out-of-n：G repairable system with single vacation［J］.Applied Mathematical Modeling，2014，38（5）：6075- 6097.

［19］Li Y，Zhen D C.Reliability analysis for the consecutive-k-outof-n：F system with repairmen taking multiple vacations［J］.Applied Mathematical Modeling，2012，37（9）：4685- 4697.

［20］De Smidt-Destombes K S，Van Der Heijden M C，Van Harten A.Availability of k-out-of-n systems under block replacement sharing limited spares and repair capacity［J］.Production Economics，2007，107（2）：404- 421.

［21］Wong H，Houtum V G J，Cattrysse D，et al.Simple efficient heuristics for multi-item multi-loacation spare parts systems with lateral transshipments and waiting time constrains［J］.Journal of Operational Research Society，2005，56（12）：1419- 1430.

［22］Zhang G Y，Li Q M，Ge E S.Batch ordering policy of spare parts in multi-location inventory system with unidirectional lateral transshipments［C］∥Proc.of the 4th International Conference on Computational and Information Sciences，2012：279- 282.

Spare parts allocation with ship for K／N（G）redundant structure

ZHOU Liang，LI Qing-min，WANG Rui，PENG Ying-wu
（1.Department of Weapon Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China；2.Department of Military Logistics and Armament，National Defense University，Beijing 100083，China）

When the fleet executes short term mission，it has no charge in halfway.A two stage repair model according the multi-echelon technology for recoverable item control（METRIC）model is built to solve this problem，which can assess the probability of success for mission and optimize spare parts scheme.The combination of binomial distribution and hypergeometric distribution is used to solve the problem，but the probability of success is difficult to solve when the redundancy numbers of component and line replaceable unit（LRU）change with time.Finally，an example which has got a spare parts plan throw marginal algorithm optimization is given，and it analyzes the mission success probability of the fleet on different stages.The result is consistent with the reality.

spare parts；redundancy；mission success probability；binomial distribution；marginal algorithm

E 917；TJ 07

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.19

周亮（198-9- ），男，博士研究生，主要研究方向为装备综合保障。

E-mail：zh201314l＠163.com

李庆民（195-7- ），男，教授，博士研究生导师，主要研究方向为复杂系统建模与仿真、装备综合保障。

E-mail：licheng001＠hotmail.com

王睿（198-2- ），男，工程师，博士，主要研究方向为装备综合保障、复杂系统建模与仿真。

E-mail：niuchenglongwangrui＠gmail.com

彭英武（197-6- ），男，副教授，博士，主要研究方向为装备综合保障、复杂系统建模与仿真。

E-mail：icip300＠chinaren.com

1001-506X（2015）12-2785-06