复杂装备研制项目进度规划GERT网络“反问题”模型

刘红旗，方志耕，陶良彦

（1.南京航空航天大学经济与管理学院，江苏南京210016；2.南京航空航天大学科学发展研究中心，江苏南京210016）

由式（8）和式（9）进行合并与化简，可得

复杂装备研制项目进度规划GERT网络“反问题”模型

刘红旗1，2，方志耕1，2，陶良彦1，2

（1.南京航空航天大学经济与管理学院，江苏南京210016；2.南京航空航天大学科学发展研究中心，江苏南京210016）

在复杂装备研制项目中，由于其研制过程中的多种复杂性和不确定性特征使得对项目的进度规划管理非常困难。文章基于系统论的思想，把复杂装备的研制过程看作是由一系列标志性事件组成的整体系统，定义了复杂装备研制项目的图示评审技术（graphic evaluation and review technique，GERT）网络模型，讨论了复杂装备研制项目完成时间的GERT网络“反问题”求解思路。以某飞机研制项目为例，对其期望完成时间进行了规划。

复杂装备；进度规划；图示评审技术网络；反问题

0 引 言

复杂装备项目，如飞机、船舶、大型专有高端设备等对国家安全和国民经济有着重要的影响。它们的研制过程往往表现出多重复杂性和不确定性的特征，如产品结构复杂，工艺过程复杂，供应商多、利益关系复杂，多品种、小批量，研制风险大等；加之研制需要经过立项论证、可行性分析、设计、预发展、试制等诸多环节，这些均对研制项目的质量管理、成本及时间的控制提出了很高的要求。同时，随着信息技术的深入发展和现代制造技术的广泛应用，复杂装备的生命周期大大缩短，用户需求日趋多样化，产品的交付日期日益严格，这使得复杂装备研制周期成为更为重要的竞争因素。因此，如何在满足复杂装备研制项目交付时限约束的前提下，合理分配和规划各研制阶段的时间，减少项目失败的概率，是复杂装备研制项目管理面临的重要问题。

对传统项目进度规划方法技术的优化和进度规划新方法的探求，一直以来是国内外学者广泛关注的问题之一，已有大量的国内外学者从不同的层面和角度进行了大量的阐述和研究。文献［1］基于随机时延Petri网技术，融合关键路径法（critical path method，CPM）和计划评审技术（program evaluation and review technique，PERT）管理思想，提出了一种项目进度规划的模拟方法；文献［2］建立一个基于多Agent系统来解决多资源约束条件下的多项目进度的调度问题；文献［3］从项目管理的角度详细论述了项目的计划、进度和控制的系统方法；文献［4］综合应用关键链和进度控制的方法，确定了多项目的“瓶颈”段的瓶颈缓冲，通过缓冲检测图、进度计划图等手段进行进度的适时控制；文献［5］从定量的角度，对关键链进度计划问题建立了数学模型，并引入遗传算法，对最优化进度和延迟成本构建了相应的算法，为关键路径法演变成关键链技术提供了定量支撑；文献［6］基于分支定界法的思想提出了一种新的精确求解多资源约束下项目进度规划问题的最优化算法；文献［7］基于模糊网络计划技术，实现了里程碑事件完成期的模糊化，建立了具有良好实用性和适用性的、适合业主进行大型工程项目宏观进度控制的新方法；文献［8］对于工序时间具有随机性的复杂工程项目，在Excel中运用蒙特卡罗仿真获得项目的完成时间分布并找出关键工序；文献［9］将图论方法应用于工程进度管理，并通过编程，解决了工程施工网络的绘图及计算问题，采用拓扑排序，求解了最短工期及工程网络的关键路线问题；文献［10］根据大型军工电子装备制造项目进度管理的特点，结合案例提出项目进度计划编制的一般过程和方法，并对企业资源能力对制造项目进度管理的影响进行分析。

从已有的文献来看，传统的项目进度计划技术如CPM和PERT在其诞生之时就将其网络结构限定在肯定型范围内，在计算活动时间的概率时进行了严格的假设；关键链方法（critical chain project management，CCPM）虽然考虑了项目过程中的不确定性的制约因素，但是对于复杂装备研制项目而言，在其研制过程中通常包含几百项的工作，往往涉及到几十种甚至上百种的约束条件，准确确定关键链会非常困难。事实上，由于复杂装备研制过程中存在着大量的随机因素，项目研制的任何一个环节都存在着失败的可能性，现有的研究无法对每个环节的成功实现给出定量的概率描述模型，从而使得根据传统工具作的进度规划往往与实际开发进度偏离较大，难以满足复杂装备严格的研制时限要求和市场化的竞争需要。

图示评审技术（graphic evaluation and review technique，GERT）网络自20世纪60年代提出以来，广泛应用可靠性管理、项目管理等多个领域［1112］。文献［13］结合GERT、失效模式和效果分析（failure mode and effects analysis，FMEA）提出了用于并行产品开发项目的早期风险预警三维模型；文献［14］综合应用设计结构矩阵模型（design structure matrix，DSM）和GERT设计了一套面向新产品开发项目有效管理的分析框架，以更好地进行项目风险与项目管理其他指标间的均衡决策；文献［15］构建了分析多阶段供应链库存状态与订单时间的GERT模型与敏感性计算算法。但以往研究一般是在已知各单项活动时间分布函数、活动概率的条件下，求解总体的期望时间、完成概率等［16］（可视为一种正向问题）。针对复杂装备进度规划存在的已知强制完成时间的问题，本文提出了GERT反问题模型。在研究该模型性质的基础上，设计了该问题的求解步骤和方法，一定程度上扩展了GERT的理论和应用领域。

本文基于系统论的思想，把复杂装备的研制过程看作是由一系列标志性事件组成的整体系统，定义了复杂装备研制项目的GERT网络模型，讨论了复杂装备研制项目完成时间的GERT网络“反问题”求解思路；以某飞机研制项目为例，对其期望完成时间进行了规划，以为复杂装备研制项目进度规划提供理论基础，为现实中出现的复杂装备研制进度管理、控制和决策提供参考。

1 问题描述

凭借专家的知识、经验和相关项目实施过程的知识，可以对设想中的复杂装备研制项目的重要标志性事件进行辨识，依据随机网络技术与方法，可以方便地依据这些标志性事件构造出该复杂装备研制过程的GERT网络模型。需要说明的是，该GERT网络模型是由若干个子系统构成，每个子系统中至少有一个标志性事件。

在建立了复杂装备研制GERT网络模型之后，如果该模型的各项活动参数已知，那么利用该模型方法，人们即可以方便求得该复杂装备研制任务的完成时间、概率等各项重要的管理决策参数。然而，复杂装备研制计划的本质问题是：要在已知该项目计划战略目标的前提下，对完成该计划一些重要子系统中的一些重要标志性事件的完成时间、概率及其对总计划的影响等许多问题寻找答案。由此可见，若要将经典的GERT网络模型的求解问题看成是“正问题”，那么，应该把利用GERT网络工具对项目进度计划进行规划看作是该“正问题”的“反问题”。

2 复杂装备研制项目GERT网络模型构建

依据以上分析思路，针对复杂装备研制项目主要工作完成时间（进度）规划问题，根据GERT网络的构建原理，可用异或型节点对该过程的标志性事件进行描述，用相关箭线对其演化逻辑关系进行描述，由此复杂装备研制项目GERT网络模型。

定义1 复杂装备研制项目GERT网络基本单元。任给复杂装备研制项目，若用箭线表示研制过程中某项特定工作，用异或型节点表示箭线之间的连接状态，则复杂装备研制项目GERT网络基本单元如图1所示。其中，Ws，i表示网络箭线（s，i）的传递矩母函数，Ps，i表示网络箭线（s，i）的状态转移概率。

图1 复杂装备研制项目GERT网络基本单元示意图

定义2 （复杂装备研制项目GERT网络协同单元）任给复杂装备研制项目，若用箭线表示研制过程中某项特定工作，用异或型节点表示箭线之间的连接状态，则复杂装备研制项目GERT网络协同单元如图2所示，其中节点F表示研制项目的失败。

图2 复杂装备研制项目GERT网络协同单元示意图

定理1 若用箭线表示复杂装备研制项目某项特定工作，用异或型节点表示箭线之间的连接状态，则任一基于标志性事件的GERT网络结构都可以通过基本单元和协同单元来表示。由此可以构造复杂装备研制项目的GERT网络模型。

定义3 （复杂装备研制进度规划GERT反问题模型）是指一类研究如何在已知复杂装备项目进度总目标前提下，求解完成该计划一些重要子系统中的一些重要事件完成时间、概率等问题的GERT模型。GERT反问题模型单元示意图如图3所示，其中Ms－1，s，Ps－1，s分别是已知的活动（s－1，s）的矩母生成函数和转移概率。Xs，s＋1，Ys，s＋1皆是未知变量，分别代表活动（s，s＋1）的矩母生成函数和转移概率。TE，PE，VE分别是节点s到节点s＋1的期望完成时间、完成概率、方差。GERT反问题模型可以理解为在已知TE，PE，VE和Ms－1，s，Ps－1，s的前提下，求解Xs，s＋1，Ys，s＋1的模型。

图3 GERT“反问题”模型基本单元示意图

3 复杂装备研制项目进度规划的GERT网络“反问题”求解思路

定理2 研制项目流程进度闭合GERT网络。任给项目工作进度流程GERT网络，其传递函数为WE（S），假设WA（S）为其外部串联网络的传递函数，则WE（S）与WA（S）可构造成一个闭合网络，且

证明令项目工作进度流程GERT网络为WE（S）；与其相连的外部串联网络为WA（S），如图4所示。

图4 项目流程进度闭合GERT网络示意图

由具有传递参数W的闭合GERT网络特征性质H可得

则由式（1）可得

证毕

利用矩母函数的基本性质，即矩母函数的n阶导数在S＝0处的数值，就是随机变量的n阶原点矩，因此有式（3）成立：

式中，FW｛·｝表示传递函数WE（S）是S，tij；i，j＝1，2，…，M的一个映射。

综合式（3）与式（4）可得

由式（5）进行等量变换，可得

若tE＝tE（C）已知，则对式（6）进行反函数变换，可得

证毕

在这里，需要指出的是，式（7）只是一种形式的表达，若要求解出某个（些）特定的tij，还需要给出相关的关系方程和约束条件。

证明由GERT网络的传递函数与矩母函数的性质可得

利用随机网络原理的概率理论，可得

由式（8）和式（9）进行合并与化简，可得

利用式（8），可将式（10）改写成

式中，FE［t］｛·｝表示E［t2］是tij；i，j＝1，2，…，M的映射；F（E［t］）2｛·｝表示（E［t］）2是tij；i，j＝1，2，…，M的映射。

对式（11）进行变换，可得

式中，FE［t］｛·｝表示V［t］是tij；i，j＝1，2，…，M的映射。

若V［t］为已知，V［t］＝V［C］，则由式（12）可得

证毕

在这里，需要指出的是，式（13）只是一种形式的表达，若要求解出某个（些）特定的tij，还需要给出相关的关系方程和约束条件。

利用以上4个定理搭建起了复杂装备研制项目完成时间规划问题的模型框架与求解体系，其具体求解方法利用案例来说明。

4 案例研究

依据飞机研制项目中可行性分析报告、预发展评审报告、首架交付等标志性事件，将研制过程分为可行性论证阶段、预发展阶段、工程发展阶段等3个阶段。在第1阶段，如可行性论证报告得以通过，则项目进入第2阶段；如可行性论证报告存在部分问题，需要进行修改，则项目可行性需论证，即是进入第1个阶段的自环；如可行论证报告未通过，则认为第1个阶段项目失败。对第2、第3阶段也用类似的方法进行描述，则可以构造某大型飞机研制项目过程GERT网络图，如图5所示。假设某大型飞机研制项目计划完成时间为120个月，项目活动概率依据其经验或相关统计数据已知，时间参数分布已知，网络中活动参数如表1所示。那么，如何在飞机研制项目的各阶段分配计划完成时间，使得期望完成时间的方差最小，是需要解决的问题。

图5 某型飞机研制项目过程GERT网络示意图

表1 某型飞机研制过程GERT网络的各项活动参数

由梅森分式可得式（1）成立：

由式（13）可得

式中

对式（14）进行参数代入，并化简可得

式中

根据随机网络等价传递概率的性质，可得该项目网络的成功概率pE（Succed）应等于WE（0），如式（16）所示。

由式（15）和式（16）可得该项目网络的等价矩母函数ME（s），如式（17）所示。

式中

研制的平均时间：

研制时间的方差：

V（T）是由时间tij与方差两部分构成，而时间tij与方差之间没有必然的联系。本案例是为了分配时间，因此在优化模型中可以将方差忽略，只考虑时间tij。假如给定方差，优化模型如下所示：

t11＝1，t22＝2.2，t33＝3.3，t12＝11，t23＝33.8，t35＝74.2。即在期望完成时间方差最小的情况下，为保证研制项目成功，项目可行性论证阶段需分配12月、预发展阶段需分配36月、工程发展阶段需分配77.5月，项目期望完成时间为120.03月。

5 结 论

本文建立了复杂装备研制项目的GERT网络模型，较好地解决了复杂装备研制项目的定量描述问题；给出了复杂装备研制项目完成时间的GERT网络“反问题”求解一般思路，为解决研制项目进度规划提供了新的思路和方法。但是，由于本文所提出的GERT网络模型求解方法，需要知道网络参数的分布类型（有些可以根据统计数据予以估计，有的则缺少统计数据），那么在信息数据不完备的情况下，如何对网络中相关参数的分布类型和分布概率进行估计，这也是本文需要继续深入研究的一个重要问题。

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Complex equipment development project planning GERT network“inverse problem”model

LIU Hong-qi1，2，FANG Zhi-geng1，2，TAO Liang-yan1，2
（1.College of Economics and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China；2.Scientific Development Research Center，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

In the complex equipment development project，it is very difficult to manage the project schedule planning since the complexities and uncertainty characteristics occur throughout the development process.The development process of complex equipment is viewed as a whole system consisting of a series of landmark events based on the idea of the system theory.Firstly，a graphic evaluation and review technique（GERT）network model is designed to describe the complex equipment development project，then the complex equipment development project completion time GERT network“inverse problem”solving algorithm is discussed.Finally，a model is used to solve the expected completion time based on a certain aircraft development project，the result of the example shows the validity of the model.

complex equipment；project planning；graphic evaluation and revien technique（GERT）network；inverse problem

C 93

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.15

刘红旗（198-1- ），男，副研究员，博士研究生，主要研究方向为灰色系统、科技创新与管理。

E-mail：liuhongqi＠nuaa.edu.cn

方志耕（1962- ），男，教授，博士研究生导师，博士，主要研究方向为工业工程、质量可靠性管理。

E-mail：zhigengfang＠163.com

陶良彦（198-8- ），男，博士研究生，主要研究方向为复杂装备研制管理。

E-mail：lytao＠nuaa.edu.cn

1001-506X（2015）12-2758-06

2014- 07- 21；

2015- 05- 21；网络优先出版日期：2015- 08- 17。

网络优先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150817.1812.004.html

国家自然科学基金（71173106，71171113）；国家社科基金重点项目（12AZD102）；教育部人文社科青年基金项目（12YJC630115）；中央高校基本科研业务费专项科研项目（NJ20140032，NP2015208）；江苏省普通高校研究生科研创新计划项目（KYZZ15_0092）；江苏高校哲学社会科学重点研究基地重大项目（2010JDXM014，2010JDXM015）资助课题