索－梁耦合结构非线性分析

刘海涛，魏明海，肖仪清，林 坤

(1.哈尔滨工业大学 深圳研究生院，广东 深圳 518055;2.沈阳建筑大学 营造与工程管理系，沈阳 110168)

索－梁耦合结构应用广泛。对其进行的传统分析往往局限于单个结构，即单个索或梁构件［1－5］。索 －梁耦合结构作为整体，系统的非线性行为不仅由索的几何非线性引起，且亦因索、梁间模态耦合而产生。将索、梁作为整体用于斜拉结构必存在多种内、外共振形式及联合形式。因此，对该耦合结构非线性响应进行深入研究具有重要意义。

索－梁耦合结构源于Fujino等［6］对斜拉索参数振动的研究，其对模型进行一定简化，仅考虑梁面内、外及索面内位移3个自由度，将索面外位移通过梁端约束耦合一起。Xia等［7］用解析方法考察拉索在端部随机位移激励的响应，采用文献［6］的3自由度索桥耦合振动简化模型，由等效线性化方法获得在主梁上作用竖向白噪声荷载的系统响应。Fung等［8］通过Hamilton原理建立索－梁耦合时变系统知，拉索张力、长度为随时间变化的函数。Gattulli等［9－11］研究索 －梁组合结构整体、局部与耦合模态的存在及相互间影响并用试验及有限元进行验证。王涛等［12］用拉索非线性解析振动方程与有限元非线性动力时程积分结合方法研究索、梁发生大幅振动的特性表明，拉索局部振动与整体结构相关效应较明显。赵跃宇等［13－14］研究索－梁耦合结构可能出现的内共振模式，利用数值模拟方法研究该系统因内共振引起的振动行为，并将索－梁耦合结构扩展到索－曲梁耦合结构，研究其面内振动特性。冯维明等［15－16］将索－梁耦合结构作为整体研究其耦合系统振动特性。而对索－梁耦合结构在内外共振联合激励下的非线性分析较少，尤其考虑模态耦合影响。为此，本文建立考虑模态相互耦合的索－梁耦合结构面内振动方程;用多尺度法对耦合运动方程进行解耦;并数值分析索－梁耦合结构在内外共振联合激励下的非线性特性及系统参数对非线性影响。

1 理论模型建立

索－梁耦合结构简化模型见图1。由于研究耦合结构面内非线性特性，故假设条件为:① 不考虑梁的扭矩及大变形;② 不考虑索的抗剪刚度及抗弯刚度;③ 将索的重力垂度曲线近似为为抛物线;④ 用Lagrangian应变描述索轴向伸长;⑤ 索质量远小于梁质量;⑥ 索、梁变形本构关系服从虎克定律且各点受力均匀。

图1 索－梁耦合结构模型Fig.1 The model of a cable-beam structure

在以上假设条件下，索－梁耦合结构振动方程组及边界条件无量纲化后表达形式［17］为

式中:下标1，2分别表示梁、索;ρ，χ，θ分别为索与梁的质量比、刚度比及倾角。

考虑梁、索横向位移关系，表达式为

式中:φ1(x)，φ2(x)分别为梁、索模态，形式为

利用Galerkin方法对索－梁耦合结构运动微分方程进行一阶模态处理，获得内、外共振联合激励下系统二自由度非线性常微分方程为

式中:fij为激励幅值;ai，bi，ci，aij，bij，aijk，bijk为梁、索Galerkin截断系数。

由式(5)知，由于梁、索模态相互耦合，即使考虑梁模型是线性的，仍有非线性项(平方项、立方项)存在于梁的振动方程中;而索的振动方程中非线性项较仅考虑索几何非线性时多。

2 摄动分析

2.1 内外共振模式分析

引入多尺度参数ε，式(5)变换为

设梁、索解的表达式为

将式(6)代入式(7)，合并ε同次项且令各项系数为 0，则有

ε0阶:

ε1阶:

式(8)解的复数形式为

式中:A1，A2为待定函数分别为A1，A2的复共轭形式。

将式(10)代入式(9)，得

式中:ω1，ω2为梁、索频率;cc为式(11)中函数共扼项;NST为式(11)中函数非长期项。

由式(11)知，索－梁耦合结构存在多种内、外共振模式，如 ω1=2ω2，ω1= ω2，ω1=ω2/2 的内共振模式;Ω= ω1，Ω =2ω1，…，Ω = ω2，Ω =2ω2，…等外共振模式。通常结构第一阶模态占据振动的主要响应，且模态阶数越高对结构振动响应贡献越小。因此，本文仅考虑梁、索各自第一阶模态研究索－梁耦合非线性特性。

2.2 振动方程近似解与运动稳定性

2.2.1 外激励与梁主共振

考虑外激励与梁主共振时，内、外共振模式关系为

式中:σ1为调频参数;ε为远小于1的参数。

将式(12)代入式(11)，并令长期项等于零，得

为求解式(13)，将A1，A2表示成极函数形式，即

将式(14)代入式(13)，并分离实、虚部，整理得

由式(15)知，考虑模态耦合影响的索－梁耦合结构在不同σ1时表现出软、硬化行为，而σ1值取决于系统的平方及立方非线性项，致耦合系统非线性特性更复杂。

2.2.2 外激励与索主参数共振

考虑外激励与索主参数共振时，梁由于1∶2内共振机制会产生亚谐波共振。因此，内、外共振模式关系式可表示为

将式(16)代入式(11)，并令长期项等于零，得复数形式的平均方程为

考虑式(17)，并分离实、虚部，整理得

由式(18)知，外激励虽作用在梁上，但通过梁、索间内共振机制作用已转移到索的振动方程，梁此时相当于被动激励。因此，索的响应较外激励与梁主共振时大。而在内外共振下，由于索的振动方程中出现阻尼项，若想激发外共振则需较大外界激励幅值。

3 数值算例分析

由索－梁耦合结构模型图1，选具有5组不同系统参数耦合模型，模型参数见表1。通过每两组模型对比分析系统参数对索－梁耦合结构的非线性特性影响。

表1 不同系统参数的索－梁耦合结构Tab.1 The different system parameters of the cable-beam coupled system

3.1 外激励与梁主共振

考虑梁与索的内共振关系为1∶2，研究外激励直接作用于梁上且与梁产生1∶1主共振时，系统不同参数对幅频响应曲线影响。激励幅值f11=0.005时，系统不同参数对梁、索各自幅频响应曲线影响见图2。由图2看出，梁、索响应在σ1的某些范围内有多个解，不同系统初始条件均可获得，但只能是其中的两个(图2(a))，虽本文认为梁模型为线性，但其幅频响应曲线却表现出非线性特征，即随激励频率变化不同参数系统分别呈刚度软(系统A、系统B、系统C)、硬化特征(系统D、系统E);而梁的刚度存在从软化到硬化的转变现象，尽管该现象仅在系统刚度比参数增加时发生(如系统D、系统E)。值得注意的是，系统刚度比参数增加使梁的幅频曲线呈硬化特征时，刚度比继续增加仅对振幅响应有轻微影响。

图2 索－梁耦合结构不同系统参数对幅频响应曲线影响Fig.2 Effect of the different system parameters on the frequency-responses of the cable-beam coupled system

外激励幅值对索－梁耦合结构系统幅频响应曲线影响见图3、图4。其中，图3以刚度软化系统B为研究对象，图4则以刚度硬化系统D为研究对象。与线性结构不同，外激励幅值大小只改变系统振动幅值，不会引起跳跃;而对非线性结构，当激励幅值达到一定程度时，系统非线性被激发，呈明显跳跃现象。由图3、图4可知，无论系统处于刚度软化状态或刚度硬化状态，外激励幅值增大时，系统非线性行为均更显著，且振幅响应均有明显增加。

图3 激励幅值对系统B幅频响应曲线影响Fig.3 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system B

图4 激励幅值对系统D的幅频响应曲线影响Fig.4 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system D

图5 索－梁耦合结构不同系统参数对幅频响应曲线影响Fig.5 Effect of the different system parameters on the frequency-responses of the cable-beam coupled system

3.2 外激励与索主参数共振

外激励频率Ω=2即外激励与索产生1∶1主参数共振时，系统不同参数对幅频响应曲线影响见图5～图7。

图6 外激励幅值对系统B幅频响应曲线影响Fig.6 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system B

图7 外激励幅值对系统D激励频率与响应幅值关系影响Fig.7 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system D

由图5(a)知，梁的幅频响应曲线总处于刚度软化状态，且系统质量比及索的轴压比与等参数对梁幅频响应曲线均影响明显，尤其质量比参数增加最显著:质量比参数增加不仅使响应振幅增大，且使幅频曲线整体向σ2轴负方向移动(如系统B与系统C对比)。尤其当系统刚度比较大时(如系统D、系统E)，梁的幅频响应完全消失，说明梁、索作为整体结构应用时，外激励与索作主参数共振情况仅在系统刚度比参数较小时发生。由图5(b)知，索的幅频响应曲线仍有两个尖峰，但不同于图2(b)内容，无论系统参数如何变化两个尖峰均保持同一趋势，说明索的振动行为仍受梁振动影响，但其影响程度较弱，使索的振动行为支配系统振动行为。由图5看出，系统的质量比、索的垂跨比及轴压比等参数对索的幅频响应曲线影响类似梁的影响，区别在于，增加质量比参数会使索能在更大共振频率范围内产生非线性行为，如系统B与系统C的对比。此外，对系统刚度比参数影响，索的幅频曲线随刚度比增加出现从刚度硬化到软化的转变现象，较图2(b)内容，可清楚发现两者的刚度转变现象完全相反，后者随刚度比增加较大尖峰发生从刚度软化到硬化状态转变，如系统B与系统D的比较。

基于上述现象，以索的刚度变化趋势为指向，外激励幅值对索－梁耦合结构系统幅频响应曲线影响见图6、图7。其中，图6以刚度硬化系统B为研究对象，图7以刚度软化系统D为研究对象。由图6、图7知，无论系统中索的刚度处于软化状态或硬化状态，当外激励幅值增大时，系统中梁与索的非线性行为均趋向于更显著，且振幅响应均有明显增加。对比图4、图6知，索－梁耦合结构在外激励与索作主参数共振时，欲使振幅响应达到与外激励与梁主共振级别，激励幅值需增大104倍。

4 结论

研究内、外共振联合激励下索－梁耦合结构的非线性特性，利用多尺度法分析系统可能存在的多种内、外共振模式。考虑索、梁间模态具有1:2内共振关系下，对外激励与梁发生主共振及与索发生主参数振动时的对应工况分别进行摄动分析，获得系统四维极坐标形式的平均方程，结论如下:

(1)荷载仅作用在梁上时，索－梁耦合结构由于模态耦合影响，存在两种外共振机制，即荷载与梁外共振及荷载与索外共振，两种外共振均能使系统振动呈非线性行为，后者所需激励幅值较前者大104倍。

(2)无论荷载与梁发生主共振或与索发生主参数共振，即使考虑梁为线性模型，由于梁与索相互耦合振动影响，梁仍表现出多解、不稳定及跳跃等非线性行为;尽管只考虑索的一个模态，但其非线性行为呈现双模态特征，即两个幅频曲线。对前者外共振，索的最大响应总与梁的响应保持一致;而对后者外共振，该一致性消失，且随激励幅值增加非线性行为愈显著。

(3)荷载与梁作主共振时，索的垂跨比及系统质量比对梁的非线性影响微小，但却能显著影响索的非线性行为;系统刚度比增加会使梁发生从刚度软化到硬化状态转变。此时索的非线性行为将产生两次跳跃现象;荷载与索发生主参数共振时系统质量比对索的影响较索的垂跨比影响更显著;系统刚度比较大时梁的非线性完全消失，索发生从刚度硬化到软化转变。

(4)鉴于刚度比参数对索－梁耦合结构有重要影响，建议对索－梁耦合结构进行振动控制时应避免用增加刚度策略或应尽量减小因控制措施造成的系统刚度变化，否则将有可能引起结构更复杂的振动行为。

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