易混易错的条件概率问题

向清耀 皮桂兰

条件概率是新课程标准实施后新增加的内容，它较以往互斥事件和独立事件的概率求法有很大区别，且与独立事件容易混淆，很多学生在此辨别不清，特别是条件概率中的条件变复杂时，学生更是无所适从，理不清头绪，自然成了难点，但它已成为近几年高考的新热点，而且难度不断加深，题目也由选填题逐步变化在解答题中呈现，我们

应该引起足够的重视！

下面就如何辨析及求解“条件概率”问题整理如下，帮助学生走出迷雾！

一、定义回顾

设A和B为两个事件，P（A）>0，那么，在A“已发生”的条件下，B发生的条件概率P（B|A），读作A发生的条件下B发生的概率.

定义为：P（B|A）=

n（AB）n（Ω）n（A）n（Ω）=P（AB）P（A）.

思考1三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？

错解第一人中奖概率是13，后2人概率为12.

正解若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：YYY，YYY和YYY.易知每一名同学抽到中奖奖券的概率都为13.

思考2三张奖券中只有一张能中奖，如果在第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后一名同学抽到奖券的概率是多少？

错解中奖概率是13.

正解用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，Ω={YYY，YYY，YYY}.既然已知事件A必然发生，那么只需在A={YYY，YYY}的范围内考虑问题，在事件A发生的情况下事件B发生等价于事件A和事件B同时发生，

即AB发生.而事件AB中仅含一个基本事件YYY，因此P（B|A）=n（AB）n（A）=12.

问题的关键是条件概率发生的样本空间发生了变化！由Ω={YYY，YYY，YYY}A={YYY，YYY}.

二、范例分析

例1某市准备从7名报名者（其中男4人，女3人）中选3人参加三个副局长职务竞选，若选派三个副局长依次到A、B、C三个局上任.求

（1）所选3人中A局为男副局长的概率；

（2）所选3人中A局为男副局长，B局为女副局长的概率；

（3）A局是男副局长的情况下，B局为女副局长的概率.

分析此题关键要读懂题意，能够辨别独立事件和条件概率，不能混淆，第二问和第三问分别考查独立事件同时发生和条件概率的求法.

解（1）记D=“A局是男副局长”，

P（D）=C14A26A37=4×6×57×6×5=47.

（2）记D=“A局是男副局长”，E=“B局为女副局长”，

P（DE）=C14C13C15A37=4×3×57×6×5=27.

（3）法一：记D=“A局是男副局长”，E=“B局为女副局长”，

则P（E|D）=P（DE）P（D）=C14C13C15/A37C14A26/A37=C14C13C15C14A26=4×3×54×6×5=12.

法二：记D=“A局是男副局长”，E=“B局为女副局长”.

则P（E|D）=n（DE）n（D）=

C14C13C15C14A26

=12.

法三：（缩小样本空间）既然A局是男副局长，只需考虑B局和C局，B局只能从3个女副局长中选一个，C局任意选.

则P（E|D）=3×56×5=12.

例2在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，每个人从盒子中摸出一个球，摸后不放回，然后下一个人接着摸球.

（1）求第一个人摸出一个红球的概率.

（2）求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出一个白球的概率.

（3）求在第1个人摸出1个红球的条件下，第2个人摸出一个白球的概率.

解记“第1个人摸出红球”为事件A，“第2个人摸出白球”为事件B，

（1）P（A）=1020=12； （2）P（AB）=10×1020×19=519；

（3）法一： P（B|A）=P（AB）P（A）=5/1910/20=1019

法二：P（B|A）=n（AB）n（A）=A110A110A110A110+A210=1019

法三：（缩小样本空间）第一次摸出的球不再考虑，第二次只能从剩余的19个球中去摸，摸到白球的可能有10种，则P（B|A）=C110C119=1019.

规律提炼

（1）解决“条件概率”问题的一般方法：

法一：P（B|A）=P（AB）P（A）

法二：P（B|A）=n（AB）n（A）

法三：缩小样本空间

（2）P（B|A）与P（AB）的概率有本质的区别与联系

联系：事件A、B都发生了

区别：样本空间不同，在P（B|A）中，事件A成为新的样本空间；

在P（AB）中，样本空间仍为原样本空间.

是否以上三种方法对所有条件概率问题都适用呢？不一定.

图1

例3（2011年湖南高考）如图1，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）=；（2）P（B|A）=.

答案：2π，14.

法一：

∵P（A）=2π，P（AB）=12π=12π

∴P（B|A）=P（AB）P（A）=12π2π=14

法二：（缩小样本空间 ）也即落在正方形区域的面积与扇

形中的正方形的面积之比. P（B|A）=122=14.

规律提炼

1.在古典概型背景下的条件概率3种方法一般均能够适用，但在几何概型中不能用方法2；

2.条件概率的计算方法要根据具体问题灵活选择！

三、能力提升

例4某中学为了迎接即将在武汉市召开的世界中学生运动会，学生篮球队准备假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3 个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回.

（1）设第一次训练时至少取到一个新球，第二次训练也取到一个新球的概率.

（2）在第一次训练时至少取到一个新球的条件下，求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

分析此题第一问和第二问仍然是独立事件与条件概率的区别，但更主要的是条件概率中“条件A”变复杂如何解决！

解（1）设“第一次训练时取到i个新球”为事件Ai（i=1，2，3）.

P（A1）=C13C13C26=35，P（A2）=C23C26=15.

设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B.

则“第一次训练时至少取到一个新球，第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A1B+A2B，而事件A1B、A2B互斥，

所以，P（A1B+A2B）=P（A1B）+P（A2B）.由条件概率公式，得

∵P（A1B）=P（A1）P（B|A1）=35×C12C14C26=35×815=825

又∵P（A2B）=P（A2）P（B|A2）=15×C11C15C26=15×13=115.

所以，第一次训练时至少取到一个新球，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为

∴P（A1B+A2B）=P（A1B）+P（A2B）=825+115=2975.

（2）法一：设A=“在第一次训练时至少取到一个新球”，C= “第二次训练时恰好取到一个新球”，

则第一次训练时至少取到一个新球的条件下，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为P（C|A）.

∵P（A）=P（A1）+P（A2）=45

又∵P（AC）=P（A1B）+P（A2B）=825+115=2975.

∴P（C|A）=2975÷45=2960

法二：

设A=“第一次训练时至少取到一个新球”

C=“第二次训练时恰好取到一个新球”

P（C|A）=n（AC）n（A）=C13C13C12C14+C23C11C15（C13C13+C23）C26=2960.

典型错解

1.第一问和第二问互相混淆.

2.第二问中易错解为P（C|A）=C12C14+C11C15C26=1315.

规律总结

1.认真分析、甄别究竟是独立事件同时发生还是条件概率.

2.属古典概型背景下的条件概率问题一般可以用三种方法解答：

法一：P（B|A）=P（AB）P（A）

法二：P（B|A）=n（AB）n（A）

法三：缩小样本空间

属于几何概型背景下的条件概率问题一般可以用两种方法解答：

法一：P（B|A）=P（AB）P（A）

法二：缩小样本空间

3.当条件变得复杂时应该牢记条件概率公式并解答.

四、衔接练习

1.（2011辽宁）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）.

A.18 B.14 C.25 D.12

2.（2010安徽）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）.

①P（B）=25；

②P（B|A1）=511；

③事件B与事件A1相互独立；

④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤ P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关.

3.若α∈（0，π2），方程x2sin2α+y2cos2α=1表示焦点在y轴上的椭圆的条件下长半轴长不小于2的概率是.

4.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求：

（1）第1次抽到理科题的概率；

（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；

（3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.

5.科研人员为了研究某病毒抗体疫苗，现用小白鼠作抗体实验，可重复使用.实验前共有8只小白鼠，其中4只新白鼠（即没有试验过的小白鼠），4只旧白鼠（即至少实验过一次的小白鼠）.每次实验，都从中任意取出2只，实验完后放回.

（1）设第一次实验时至少取到一只新白鼠，第二次训练时恰好取到一只新白鼠的概率；

（2）在第一次实验时至少取到一只新白鼠的条件下，求第二次实验时恰好取到一只新白鼠的概率.

答案：

1.B 2.②④ 3.23

4.解（1）P（A）=n（A）n（Ω）=1220=35.

（2）P（AB）=n（AB）n（Ω）=620=310.

（3）法一、 由（ 1 ） （ 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率

P（B|A）=P（AB）P（A）=31035=12.

法二、 因为n（AB）=A23=6，n（A）=A13×A14=12，所以P（B|A）=612=12.