有关原函数存在性与函数可积性关系的探讨

张丽春 李文钰 杨月婷

【摘要】本文在阐述原函数存在性与函数可积的相关理论基础上，通过对现行本科高等数学课本中三类可积函数的原函数存在情况进行讨论，引申出原函数存在性与函数可积之间的关系，从而得出结论. 并在分析的基础上举出实例进行了探讨与验证.

【关键词】原函数;可积函数;间断点

【分类号】O174

【基金项目】吉林省教育厅“十二五”科学技术研究项目（批准号：2011152）.吉林省教育厅“十二五”规划课题（GH150078）.

原函数和函数可积的概念虽然建立的背景不同，但是牛顿―莱布尼茨公式在二者之间建立了计算上的桥梁，将二者有机的结合起来. 却也因此容易使我们误认为“一个函数可积，则它的原函数必定存在”或“一个函数的原函数存在，则该函数必定可积”，其实这两者的关系远非这样简单. 基于此，我们对于原函数存在性与函数可积关系进行详细的讨论.

一、原函数存在性的理论基础

定理1 若函数f（x）在区间[a，b]上可积，则积分上限函数F（x）=∫ x af（x）dt必为[a，b]上的连续函数，且在[a，b]内处处可导. 其中F′（x）=f（x）. F（x）就是f（x）在[a，b]上的一个原函数，也就证明了“连续函数必存在原函数”的结论.

定理2 （1）若函数f（x）在区间[a，b]上含有第一类间断点，则f（x）在[a，b]上不存在原函数;（2）若函数f（x）在区间[a，b]上有无穷型间断点，则f（x）在[a，b]上不存在原函数;（3）若函数f（x）在区间[a，b]上存在原函数，则f（x）在[a，b]上的间断点是第二类的.

由以上定理可见，连续函数的原函数一定存在，含有第一类间断点的函数和含有无穷型的第二类间断点的函数一定不存在原函数.

二、函数可积性的理论基础

定理3 若函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积.

定理4 若函数f（x）在区间[a，b]上有界，且有有限个间断点，则f（x）在[a，b]上可积.

定理5 若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则f（x）在[a，b]上可积.

三、函数可积与原函数存在之间的关系

在高等数学中，可积函数一般可分成三类，即

（1）在[a，b]上连续的函数f（x）必定可积;

（2）在[a，b]上有有限个间断点的有界函数f（x）必定可积;

（3）在[a，b]上单调的函数f（x）必定可积.

结论1 在区间[a，b]上可积的函数f（x）不一定存在原函数.

可积函数的三种类型中，对于第一种类型的可积函数，即如果函数f（x）连续，由定理1知，f（x）在[a，b]上存在原函数F（x）.

对于第二种类型的可积函数，如果函数f（x）的间断点是第一类间断点时，则f（x）的原函数必不存在，否则与定理2（3）相矛盾. 如果f（x）的间断点是第二类间断点时，则f（x）的原函数不一定存在.

对于第三种类型的可积函数，分析同上. 如果单调函数f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上存在原函数. 如果单调函数f（x）在[a，b]上不连续，那么f（x）的间断点只能是第一类间断点，因此必不存在原函数.

结论2 在区间[a，b]上存在原函数F（x）的函数f（x）不一定可积.

结论3 存在既不可积又不存在原函数的函数.

结论4 对于连续函数，可积性与原函数的存在性是统一的;若函数f（x）在[a，b]上可积，且存在一个原函数F（x），则变上限积分∫ x 0f（x）dx是其一原函数.

结论5 若f（x）在[a，b]上可积，且存在原函数F（x），则一定有 ∫ b af（x）dx=F（b）-F（a）.

总之，函数可积与原函数存在是两个不同的概念，而这两者之间没有必然蕴含关系. 即可积函数既可能存在原函数，也可能不存在原函数;反过来，原函数存在的函数，可能可积，也可能不可积. 仅当函数可积或者连续且存在原函数时，牛顿—莱布尼茨公式才成立，即该条件下存在原函数的函数一定可积，两个条件缺一不可.

【参考文献】

[1]方晓峰，李应岐. 原函数存在性与可积性概念辨析[J]. 高等数学研究，2010，13（6）：22-24.

[2]陈妙琴.关于函数可积性与原函数存在性问题[J]. 福建教育学院学报，2007，8（7）：109-110.

[3]马保国，王延军.分段函数函数的可积性与原函数的存在性[J]. 大学数学，2009，25（2）：200-203.

[4]Rudin W. Principles of mathematical analysis[M]. New York：McGrawHill Book Company Inc，1953.