化归方法中常见问题的处理

曹辉

转化的思想是高中数学中常见、常用的数学思想方法，转化的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简.本人在教学中发现，同一道数学问题不同的学生来思考或同一名学生以不同的角度用不同的方法来思考，可能会得到截然不同的结果.一部分原因是由于对问题的转化不等价造成的.本文就针对转化中的等价转化中常见的问题进行研究.

一、三角函数及解三角形中的等价转化问题

1.设△ABC内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则sinA+tanCcosAsinB+tanCcosB的取值范围是

.

学生解法：原式=sinAcosC+cosAsinCsinBcosC+cosBsinC=sinBsinA=ba.

（1）

∵b2=ac，

∴（1）=ca，由构成三角形的条件可知：a+b>c，a+c>b，b+c>a且b2=ac，不等式组转化为a+ac>c，a+c>ac，ac+c>a，解得：5-12

问题剖析：（1）式的得到实际上利用了转化的思想，但在问题的转化中，（1）式与原式并不等价.原因是：原式中要求C≠π2，而（1）式中，C可以等于π2，这就造成了在化归中（1）式和原式不等价性，即满足的是充分不必要条件，范围被扩大了.原式须等价转化为（1）式和条件c2≠a2+b2，正解为5-12，5-12∪5-12，5+12.

二、函数中的等价转化问题

2.设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）.若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，则b2+c2的最大值与最小值的和为

.

学生解法：∵f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，易知f（3）=1，即9+3b+c=1，∴c=-8-3b.

（1）

f（x）=x2+bx-3b-8，|x|≥2，f（x）≥0|x|≥2，b（3-x）≤x2-82≤x<3或x≤-2时，b≤x2-83-x.

x>3时，b≥x2-83-x;x=3时，b∈R.解得：-8≤b≤-4.

（2），

由（1）（2）可知：b2+c2=10b2+48b+64，

∴（b2+c2）min=32，（b2+c2）max=320.

问题剖析： ∵f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，只满足f（3）=1（c=-8-3b）不能说明f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，需加条件-b2≤52，即b的范围为[-5，-4].

三、不等式中的等价转化问题

3.已知二次函数f（x）=ax²+2bx+c（c>b>a），其图像过点（1，0），且与直线y=-a有公共点，则

ba的取值范围

.

学生解法：由题设：a+2b+c=0，c>b>a得：a<0，c>0c=-a-2b>0，解得ba>-12.

又y=-a有公共点得：方程ax2+2bx+c+a=0有实根， 即：Δ=4b2-4a（c+a）=b2+2ab≥0，解得ba≥0或ba≤-2，综上：ba≥0.

问题剖析：上述解法的范围被扩大了，满足的条件应为：-a-2b>b

-a-2b>a

b>a

b2+2ab≥0，解得0≤ba<1.

四、解析几何中的等价转化问题

4.F1，F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点，P，F1，F2为直角三角形的三个顶点，则P到x轴的距离为

.

学生解法：（1）若 P为直角顶点，设P （x，y）.焦点F1，F2的坐标分别是（-3，0），（3，0）.由PF1⊥PF2可得PF1·PF2=0，∴x2-9+y2=0，将该式代入椭圆方程得|y|=163.

（2）若F1为直角顶点，设P （x，y），将x=-3代入椭圆方程得，|y|=165.

问题剖析：通过上面的分析可以发现，在第一类讨论中将|y|=163代入x2=9-y2会发现x2<0，这样的x值不存在，也就是说P不可能是ΔPF1F2的直角顶点.因此|y|=163是错解.已知两个二次曲线方程，判断它们的位置关系，不能使用判别式了，因联立方程后所得方程中变量的取值范围发生了变化，即方程的转化不等价.解答时要看方程组解的情况.

在高中的学习过程中，需要对等价转化的思想方法进行理解、深化，即等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，等价转化要求转化过程中的前因和后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后所得结果为原题的结果.

【参考文献】

[1]朱红霖.中学数学思维隐形错误探源.中学数学研究，2012年第二期.

[2]灵东.这种解法怎么少了一个值.中学数学教学参考，2013年第4期（上旬）.