常见的因式分解方法探究

宋林

[摘要]初中数学教学中，多项式的因式分解是很重要的教学内容，这部分内容学习的好坏，直接关系着分式、一元二次方程和二次函数学习的好坏.因式分解的方法有很多，主要叙述了几种常见的方法，以培养学生的运用能力.

[关键词]因式分解探究多项式

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）110047

学习多项式的因式分解，要知道因式分解与整式乘法的区别与联系.整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；而因式分解是把一个多项式化为几个因式的乘积的形式.这就是说，知道了这种区别与联系，不仅可以知道因式分解的意义，而且可以把整式乘法的过程反过来，从而得到因式分解的一些方法.因式分解的方法有很多，初中数学教材主要讲了提公因式法和公式法.要彻底学好因式分解还要掌握一些常见的分解方法.下面介绍几种常见的因式分解方法.

一、配方法

所谓配方法，就是通过加减项把一个式子的一部分配成完全平方式或几个完全平方式的和或差的形式，配方法的关键是先配出完全平方式，然后在此基础上分解因式.

【例1】分解因式a4+3a2+14ab+4-49b2.

解：原式=a4+4a2+4-a2+14ab-49b2=（a2+2）2-（a-7b）2=（a2+2+a-7b）（a2+2-a+7b）.

二、分组分解法

分组分解法适用于四项或四项以上的多项式，分组的基本原则是：（1）分组后可以直接提取公因式；（2）分组后可以直接应用公式.

【例2】分解因式a2+a-4b2-2b.

解：原式=（a2-4b2）+（a-2b）=（a+2b）（a-2b）+（a-2b）=（a-2b）（a+2b+1）.

三、拆项变形法

当多项式不易直接分解因式时，可考虑将其中的某项拆成几项的和，拆项的原则是：拆项后有利于提取公因式，或者能运用乘法公式等方法分解因式.这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

【例3】分解因式a3+4a2+a-6.

解：原式=a3+3a2+a2+3a-2a-6=a2（a+3）+a（a+3）-2（a+3）=（a+3）（a2+a-2）=（a+3）（a+2）（a-1）.

本例也给出了一元三次多项式因式分解的一个基本方法：拆二次项、一次项系数，使原来的四项变成六项，从高次到低次，每相邻两项分为一组，把六项分成三组.拆项的原则是要求三组的系数比相等，然后这三组用分组分解法进行分解.

四、添项变形法

当因式分解缺项不能应用公式法、十字相乘法等进行因式分解时，往往可考虑在分解式中加减一个相同的项，然后再分解.这种加减一个相同项的变形叫做添项变形.

【例4】分解因式4m4+81.

解：原式=4m4+36m2+81-36m2=（2m2+9）2-（6m）2=（2m2+6m+9）（2m2-6m+9）.

五、换元变形法

若多项式中的一些项本身又含有多项式，这种因式分解的过程势必冗长.对此，常可设辅助未知数来替代某些多项式，使分解过程得到简化，以利于分解.把多项式中相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.（注意：换元后不要忘记还元）

【例5】分解因式（x2+3x-2）（x2+3x-6）+4.

解：设y=x2+3x，则原式=（y-2）（y-6）+4=y2-8y+16=（y-4）2=（x2+3x-4）2=（x+4）2（x-1）2.

六、主元素法

这是针对二元多项式或者多元多项式分解因式的一种方法.分解时，先根据多项式的特点选定某一个字母为主元素，视其他字母为常量，将原式按降幂排列，重新整理成关于这个字母的多项式，然后进行因式分解.

【例6】分解因式m2+4mn+3n2+2m+10n-8.

解：因为这是一个二元二次多项式，所以，不妨设m为主元素，得

原式=m2+2（2n+1）m+3n2+10n-8=m2+2（2n+1）m+（2n+1）2-（2n+1）2+3n2+10n-8=（m+2n+1）2-n2+6n-9=（m+2n+1）2-（n-3）2=（m+3n-2）（m+n+4）.

上面介绍了在因式分解时比较常用的一些变形方法.由于因式分解的方法有多种，因此变形方法也比较灵活，到底在什么情况下用哪种变形方法，就要根据分解式的特点而定.有时几种变形方法可能同时应用，对较复杂的分解式往往要综合运用上述变形方法进行变形才能分解.

（责任编辑钟伟芳）