实变函数课程化难为易的教学探讨

何广平　雷刚

[摘 要]实变函数课程的内容抽象复杂、逻辑严密、习题难做，相对于数学分析课程来说难度显著增加了，初学者普遍感到不易掌握。针对学生普遍认为实变函数课程难学的实际情况，探讨该课程教学中化难为易的途径。用“问题”构建教学思路，用几何直观和通俗语言描述抽象概念和理论，用“化整为零”对付复杂问题，都有助于降低课程内容的难度。

[关键词]实变函数 教学 化难为易

[中图分类号] G642.3 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2015）05-0093-02

实变函数课程的内容抽象复杂、逻辑严密、习题难做，相对于数学分析课程来说难度显著增加了，初学者普遍感到不易掌握。一些教材在序言中还特别指出了这个问题[1]，网上有句流行的调侃说法是“实变函数学十遍”，可见学习该课程之艰难困苦状况。因此，设法化难为易、降低难度，就成为该课程教学中一个绕不开的焦点问题。为此，我们在讲授这门课程中探索了一些教学处理方法。

一、用“问题”构建教学思路

以课程引言的教学处理为例。开始学习一门课程时，学生往往关心这门课学什么？为何要学？怎么学？这些问题需要在课程一开始就解决。可以开门见山的挑明这门课程的中心任务就是建立一种新的积分，并且阐明建立新积分的思路。数学分析中刚刚学过了积分内容，为何又要学新积分？因为数学分析中的黎曼积分还不够好，主要是可积函数范围不够大，另外涉及积分极限运算的条件苛刻，不能满足许多理论研究和实践应用的需要。比如，区间[0，1]上的狄利克雷函数D（x），函数只取0和1两个值，从值域角度看函数够简单了，可是它是黎曼不可积的，所以有必要建立一种新的积分。对新积分有什么要求？当然首先希望它比黎曼积分的可积函数范围大，原来黎曼可积的函数现在照样可积而且积分值也要相等，有一些黎曼不可积的函数现在黎曼可积了；其次，新积分必须保留原来积分的基本运算性质，比如线性运算性质、可加性等，在此基础上希望新积分有某些更好的运算性质，比如能将经常遇到的积分与极限运算的交换次序问题变得更简单些。

为了使新积分的可积函数范围扩大，先回顾黎曼可积的条件和黎曼积分的定义。通过分析初步体会到黎曼积分从根本上说是针对连续函数建立的，对破坏连续性不太严重的函数也适用，对于只有有限个间断点、或间断点可以形成一个收敛点列的有界函数也都能用。那么，函数的不连续性严重到什么程度就不可积了？这个问题到课程后面就很容易回答。对于不连续性程度比较严重的函数，即使在小区间内各点彼此非常接近，但函数值相差不能变小。这样，黎曼积分定义中在各小区间内选取任意一点的函数值计算积分和就不够合理。在足够多的小区间内都是这样的情形，那么选取不同介点计算的积分和就彼此不同，即使小区间的长度最大值趋于零也无法使积分彼此误差消失，于是不可积就是自然的结果。

为了克服黎曼积分定义中影响可积性的这个重大缺陷，可以尝试将原来划分定义域的做法改为划分值域。设函数f（x）在区间[a，b]上有界，其下确界和上确界分别为A和B。将区间[A，B]划分为若干小区间：[A，A1]，[A1，A2]，…，[An-1，B]，记Ei={x：Ai-1？燮f（x）

二、借助通俗语言或几何直观表达

对有些内容，采用通俗的语言或几何直观会收到事半功倍的效果。比如，康托集的教学，只要在数轴上将闭区间[0，1]一分为三、挖中间（开区间）留两边，对留下的每个小闭区间反复运用这个做法，则康托集的定义就易于掌握。又例如，用简单函数逼近可测函数的定理的证明过程的确复杂，可以从函数图像角度理解证明的思路以及结论为何成立的道理。将函数值域区间划分为n等分，在每个小值域区间上，用该区间上的最小值或下确界近似代替原来的函数值，几何上看就是到处用短的水平线段代替原来曲线段。继续将每个小区间细分，皆等分为2个小区间，重复这个做法，用更短更密的短线段代替曲线，水平线段与曲线的纵坐标误差会更小。这种几何做法，相当于用简单函数不断的逼近原来的可测函数。经过这样的几何直观描述，再用式子、用逻辑推理严格的论证就易于理解了。假如撇开了几何直观，其证明过程让人感到有点复杂而又莫名其妙。

在叶果洛夫定理的教学中，为了便于理解和记忆定理的内容，可以这样通俗解释：测度有限集合上几乎处处收敛的函数列，是“差不多”一致收敛的。究竟怎么样的“差不多”？它是从定义域的测度角度来看的，无论指定多么小的误差要求ε>0，都存在定义域的可测子集，使得原来的定义域和这个子集之差的集合测度能够小于ε，而函数列在这个足够大的子集上就是一致收敛的。既然这个ε要想有多小都能办到，可见二者的定义域范围差的就是不多！关于可测函数的其他几个重要定理及其证明可以类似的处理。在论证集合对等的结论及证明思路时，借助通俗的例子是很有启发性和化难为易的效果的。比如用希尔伯特房间故事说明给可数集添加有限个元素后仍然能够与原来的集合对等。

三、将复杂的内容“化整为零”

有的定理证明过程太复杂，可以采用“化整为零”的做法，或者说是将一大步分解为若干小步完成，从而降低难度。这种做法在课程中比较普遍。以勒贝格积分线性性质为例，要证明等式 [αf（x）+βg（x）]dx=α f（x）dx+β g（x）dx，只要分别证明数乘性质 αf（x）dx=α f（x）dx和加法性质 [f（x）+g（x）]dx= f（x）dx+ g（x）dx。对数乘性质，若α=0结论显然成立；可以先考虑就α>0情形，对α<0的情形，通过α=-α能够转化为已证明过的情形。对于加法性质，可以先就非负函数情形证明之，最后利用函数分解式f=f +-f -及积分定义就可以得出一般的情形都成立。

还有，乘积集合的可测性、勒贝格积分的几何意义论证等都是这类例子。它们都是先就集合为区间这种最简单的情形证明之，接着是开集、Gδ型集、零测度集，最后合成起来得统一结论。其实，整个建立勒贝格积分的过程就是一个先化整为零，再积零成整，由简单过渡到复杂的处理过程。

当然还有其他一些做法都能起到化难为易的作用，值得教师在授课中不断的总结。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 程其襄，张奠宇.实变函数与泛函分析基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010：1-3.

[2] 张奠宇，张荫南.新概念：用问题驱动的数学教学[J].高等数学研究，2004（3）：8-10.

[3] 曹怀信.实变函数引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.

[4] 周性伟.讲授实变函数课的点滴体会[J].高等理科教育，2000（1），42-45.

[5] 高文华，郭继东.实变函数教学中的几点体会[J].伊犁师范学院学报（自然科学版），2007（2），58-61.

[责任编辑：林志恒]