Taylor公式与Newton插值的一个注记

龚佃选　彭亚绵

【摘要】结合线性代数中线性空间的基本理论，利用简单的数学方法和手段，给出了Taylor公式和Newton插值法之间的一个联系.得到Taylor公式可以看作是Newton插值法的极限形式，待定系数法得到的一般插值法也恰好支持了上述观点.

【关键词】Taylor公式；Newton插值；过渡矩阵；思想方法

【中图分类号】G642.0【文献标识码】A

【基金项目】“数值计算方法”国家级精品资源共享课建设项目，中国自然科学基金项目（61170317， 11301120），河北省自然科学基金项目（A2013209295）.

1.引言

随着科学技术的快速发展，现代数学得到广泛应用，越来越多的新的先进的理论和方法不断涌现.教育的内涵和方法也应该与时俱进.李大潜院士指出“数学的教学，不仅要使学生学到许多重要的数学概念、方法和结论，而且应该在传授数学知识的同时，使他们学会数学的思想方法，领会数学的精神实质，知道数学的来龙去脉，在数学文化的熏陶中茁壮成长”.事实上，丰富的数学理论和方法背后的数学思想方法是朴素的、有限的.本文以Taylor公式和Newton插值为例，结合线性空间理论用最基本的数学方法和手段得到它们之间的联系.

2.相关概念

设对于正整数n，函数y=f（x）在包含x*的某个闭区间[a，b]上n阶连续可导，且在（a，b）上n+1阶可导，则有如下Taylor公式成立：

此时得到的是Taylor展开的特殊情况叫麦克劳林公式.这个跟用待定系数法得到的一般插值多项式是一致的.而事实上此时的过渡矩阵A恰好就是由Newton基函数组到常用基函数组1，x，x2，…，xn的过渡矩阵.

4.总结

本文以线性代数理论观点解释Newton插值法与Taylor展开之间的一个关系.一方面帮助学生多角度理解和认识这两个概念，同时启发同学们去挖掘此类联系进而重新认识已经学过和掌握的知识；另一方面，可以帮助教师提高教学质量和学习效率.

【参考文献】

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