从三角函数问题的角度看构造法

吴振奕

【摘要】培养学生的探索精神和创新能力是新课程理念的两个重要目的.但可以用什么样的载体来进行培养？事实上，在高中数学的解题教学中大量存在的构造法，便是一个很好的载体.在教学中，教师要研究如何引导学生利用构造法解题，主动地借助知识、方法间的横纵联系，创造性地解决数学问题，以较好地践行新课程的理念.

【关键词】高中数学；构造法；三角问题；迁移

所谓构造法，就是根据题设条件和结论之间的内在联系及两者本身的“特征结构”，对题中的条件进行一番“加工”，去构造满足条件或结论的数学模型，探求出解决问题的新途径，使问题的解决更加巧妙.它不但可以提高学生横纵运用知识解题的技巧，而且可以激发学生的发散思维，有效地培养学生的想象力和创造力.一个教师有意识地引导学生进行创造性地解题，能够激发学生更多学习兴趣，使学生得到更深层次的理解感悟，迸发更多的创新意识，而且锻炼了探索的勇气与精神.而这正是新课程理念的重要目标！

笔者认为，“构造”与其说是一种方法，不如说是一种意识，一种“善于联系事物，不甘于平庸”的思维品质！如何使学生拥有这种意识，并且强化这种意识？一个基本前提是：学生能够看出或找到构造的“切入口”.

一直以来，三角函数（恒等变换）知识在高考中一般被设置为中下难度的试题，但由于三角函数性质和三角恒等变换形式的丰富性，很容易与其他数学知识相联系，所以有关三角问题的构造性解法是大量存在的.笔者试图通过探究若干三角函数问题的解题过程，来思考构造法的思维特征，寻找构造法的切入口.下面就引用一些例子来进行探究.

1.从代数方程的角度构造

7.从向量的角度来构造

向量作为一种基本数学工具，如善加应用，往往会收到令人意想不到的效果.人教版必修4中对两角差余弦公式的推导，便是应用向量数量积来证明.再如：

例7求函数y=2-cosxsinx（0

解析本题既可用前面“数形结合的角度来构造”，转化为求共点直线系斜率的最值，也可借助辅助角公式求得函数最值.但若将函数解析式化为方程cosx+ysinx=2，等式左边可以联想到向量数量积的坐标形式：a·b=x1x2+y1y2.下面我们尝试着从向量的角度来处理：

从上面的多个视角可看出，构造法往往来源于对不同知识形式、结构甚至内涵的迁移，可以说，构造的本质就是知识、方法、技巧、思维模式的迁移.这种迁移是以学生对数学概念的正确的理解为基础的.这不仅要求学生熟练掌握高中各章节数学知识，还要有对不同知识迁移、对比的习惯.

但是，如果缺少探究创造的意识，构造法便失去了其思维的基础，构造依然无法实施.传统的数学教育强调知识的识记和技能的训练，这种教学方式容易导致学生解题时的功利心态，能解出来即可，哪管什么方法好不好，新不新颖！但新课程理念则要求教师不仅要传授学生数学知识，更要培养学生的想象力和创造力.作为教师，不仅要注重引导学生对知识进行更深刻的理解，还要多进行一题多解、一题多思、一题多问的教学实践，以新颖的解法诱导学生勇于尝试，以鼓励的手段引导学生大胆创新.唯其如此，才能培养出真正具有数学素养的学生.