数学课堂教学中培养学生合作学习和自主探究能力的尝试

陈怀宇

数学课堂教学不仅要交给学生科学知识，而且还揭示获取知识的思维方法和思维过程.课程改革的核心是课堂教学改革，实施课堂教学的重点是改变教育观念，改变传统的教学手段，培养学生的创新意识和创造精神.在教学过程中我们必须选择灵活多样的教学方法，如启发式、探究式、尝试式、情景式等，想方设法培养和提高学生合作学习的能力和自主探究的能力.为此，我在关于《等差数列前n项和》的教学中对培养学生合作学习和自主探究能力方面进行了积极的尝试.

一、教学内容分析

本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用.等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式的推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题的方法.

二、学生学习情况分析

在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，这就为倒序相加法的学习提供了基础；同时学生已经学习了二次函数的有关知识，因此在教学中可适当渗透函数思想.高斯的算法与一般等差数列的求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍.

三、设计思想

教学过程中，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列前n项和的求法.通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习.同时为了促进成绩优秀学生的发展，我还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的.

四、教学目标

1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法原理.

2.通过公式的推导过程，让学生体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流和自主探究的能力.

五、重点和难点

重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题.

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得.

六、教学过程设计

（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验

世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

[知识链接]

高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”.200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题： 1+2+3+…+100=？

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050.

[学情预设]高斯的算法蕴涵着推导等差数列前n项和的方法——倒序相加法.教学时，应给学生提供充裕的时间，让学生们自己去观察、探究、发现和交流它们的内在规律.为了使学生对这种算法有进一步的理解，我又设计了以下三道由易到难的问题.

（二）由易到难，在自主探究与合作中学习

问题1图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石？

以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬.

[设计意图] 这是求奇数个项的和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想.

问题2：求图案中从第1层到第n层（1

[学情预设]学生通过激烈的讨论后，发现n为奇数时不能配对，可能会分n为奇数、偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键.

[设计意图] 从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进.

启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形.

[设计意图] 借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型.

通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：

[设计意图]该例题是将课本P46习题2.3A组第3题改编成表格形式，可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力.学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算.

例2已知等差数列5，42[]7，34[]7，…

求（1）数列{an}的通项公式；

（2）数列{an}的前几项和为1257？

（3）Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值.

[设计意图] 通项公式与求和公式中共有a1，d，n，an，Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程思想.第（3）小题是让学生用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础.

[知识链接]（1）由Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+a1-d2n，若令d2=A，a1-d2=B，则Sn=An2+Bn，可知当d≠0时，点（n，Sn）在常数项为0的二次函数图像上，可由二次函数的知识解决Sn的最值问题；

[设计意图]分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念.

（五）回顾反思，深化知识

组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化.

1.从特殊到一般的研究方法；

2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，灵活运用方程思想；

3.前n项和公式的函数意义；

（六）布置作业

1.习题2.3第1题（1）（3），第2题（3）（4），第5题

2.探索题

七、教学反思

“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和.该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解.本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路.为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题.在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了.