高等数学导数概念教学研究高等数学导数概念教学研究

陈勤

【摘要】导数概念的教学中要注意充分利用导数概念的实际背景和学生已有的生活经验引导学生发现概念，注重揭示导数概念的内在本质和其中蕴含的数学思想与哲学内涵，合理借助导数概念的直观性促进导数概念由抽象到具体的转化.

【关键词】数学概念；导数概念；概念教学

数学概念是数学的基石，它是揭示空间形式与数量关系本质属性的思维形式.数学概念的教学是数学教学的重要环节，是掌握定理、证明、计算等一系列数学学习的前提或必要条件.

一、充分利用导数概念的实际背景和学生已有的生活经验引导学生发现概念

导数概念作为高等数学的核心概念之一具有高度的抽象性，与初等数学概念在含义与思维模式等方面有较大的跨度，因此教师在教学中要研究导数概念认识过程的特点和规律性，根据学生认识能力发展的规律来进行教学.导数概念有着良好的物理背景和几何背景，教学中应充分利用这些资源以及学生已有的生活经验，引导学生发现导数概念.教师首先引导学生在已知自由落体运动（变速直线运动）路程函数s=12gt2的条件下，设法求出t=t0时刻的瞬时速度.学生的经验是会求匀速直线运动的速度，故所面对的是匀速与变速的矛盾.在此教师应及时引导学生缓和矛盾，其方法是取一较小的时间段Δt，求出在这个较小时间段内的平均速度，用平均速度作为瞬时速度的近似值.然后分析当时间段越变越小Δt→0时会有怎样的效果，使学生自己意识到通过对平均速度取极限可以得到瞬时速度，即矛盾得到了解决.用同样方法可引导学生求出交变电流的瞬时电流强度和非均匀杆在一点处的线密度，结果几个不同的物理问题得出了相同的数学模式.到此舍弃以上例子各自的物理背景，再进行抽象给出导数定义便水到渠成了.

二、注重揭示导数概念的内在本质和其中蕴含的数学思想与哲学内涵

教师在导数概念的教学中必须使学生认识到，导数与真实现象间有着一般和特殊的关系，作为抽象思维的产物具有更为普遍的意义，它所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同特征.它除了表示瞬时速度、电流强度、线密度之外，还可以表示瞬时加速度、角速度、切线速度等，导数的本质是变化率.在揭示导数内在本质的同时，对导数概念中所蕴含的深刻数学思想与哲学内涵，教师也要有意识地向学生渗透，以此来培养学生运用数学思想方法分析问题解决问题的意识和数学素养的提高.极限方法是导数概念建立的基础，它有效地揭示和把握了常量与变量、直线与曲线、匀速运动与变速运动等的对立统一及矛盾相互转化的关系.为了让学生更加具体地理解和认识上述特征，教师可以对导数概念建立的全过程及其特点作一剖析.在求函数f（x）在x0的变化率时主要经历了三个步骤：第一步，从x0出发，以x0为中心“张开”一个小区间；第二步，利用已有的代数知识和方法，求出f（x）在该小区间上的平均变化率；第三步，让此小区间向x0点“收缩”，经过一个“无限”变小的飞跃过程，由函数f（x）在x0点邻近的平均变化率获得在x0点的变化率，即函数f（x）在x0点的导数.上述处理问题的思想方法与初等代数和几何的方法根本不同，它不是“直接”和“直线”式进行的，而是采取了“欲进故退”迂回方式，即为了求精确值而先求近似值，然后再由近似值过渡到精确值.从本质上讲，这种思想方法正是利用了点与点之间函数值的内在联系与制约的本质特征，从而利用函数f（x）在x0点邻近的变化状态去揭示和把握f（x）在x0点的变化状态.

三、合理借助导数概念的直观性促进导数概念由抽象到具体的转化

要达到对导数的真正认识，必须通过对特例的考察，弄清导数概念的直观背景.从几何上看，导数f′（x）就是曲线y=f（x）在点x0，f（x0）处的切线的斜率.为了求曲线上某一点处的斜率，在曲线上任取另一点，求出和已知点所确定的割线的斜率，即纵坐标的改变量与横坐标的改变量之比，然后再让这一点和已知点逐渐靠近Δt→0，曲线上定点处的切线斜率就能转化为割线斜率的极限，其数学形式与上述几种类型完全相同.采用将抽象难理解的知识形象直观地呈现给学生的教学手段，学生更容易感知上述过程中的由割线到切线的变化规律，从而能从直观上了解导数的定义.可以看到，借助于几何直观性不但使学生深化了对导数本质的认识，而且对物理中的瞬时速度、加速度、角速度、比热等概念作出了更科学合理的解释.同时，教师在教学中还应加强对导数几何意义的处理和要求，让学生反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题.通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用，其目的一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现几何直观这一重要思想方法对于数学学习的意义和作用.

导数概念是抽象思维的产物，但它又根植于客观的现实世界，有着深刻的现实背景.教师在教学中应该以学生为主体、以启发式为原则、以简易性为目标，让学生亲历知识发现过程，在暴露导数概念生成的思维方式上多下工夫，注意揭示出导数概念的内在本质和其中蕴含的数学思想与哲学内涵，培养学生理性的思维模式和提高数学素养，并合理借助直观性完成导数概念由较为抽象的表述向具体的形式化表述的转化.导数概念的成功教学对学生成功地走向微分、定积分概念等内容是一个很好的启迪.

【参考文献】

[1]毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报，2003（5）.

[2]吕世虎.从高等数学看中学数学[M].北京：科学出版社，1995.