别出心裁 思维绽放

刘海燕

[摘 要]近年来，高考试卷中涉及函数、导数、不等式综合的试题越来越多.我们应当有意识地挖掘和提炼数学知识本身所蕴含的丰富的数学思想和方法，并引导学生在解法上求异，培养学生思维的发散性和灵活性，提高学生的解题能力.

[关键词]函数 单调性 最值 极限

函数问题是高考的热点和难点，思维方法灵活多变.纵观2014年全国各省市的高考试题，函数题较多地以函数单调性、极值、最值、不等式恒成立等问题出现.教师在解题教学中除强调通性通法外，也应注意数学思想方法的运用.本文以2014年高考理科数学北京卷第18题为例，多角度地分析求解函数最值及恒成立问题，巧妙地结合极限思想和数形结合思想，使得这一问题的求解思维更加开阔.

题目：已知函数f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2].

（1）求证：f（x）≤0;

（2）若a解答：高考标准答案中的解法不再赘述.

方法一：（1）由f（x）=xcosx-sinx，

得f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

∵在区间[0，π2]上，f′（x）=-xsinx<0，

∴f（x）在区间[0，π2]上单调递减，∴f（x）≤f（0）=0.

令g（x）=sinxx，x∈（0，π2） ，则g′（x）=xcosx-sinxx2= f（x）x2.

由（1）可知f（x）<0，x∈（0，π2），

∴g′（x）<0，∴g（x）在（0，π2）上单调递减.

∴g（x）>g（π2）=2π， 且g（x）