多解促认知 开放锻思维

孔薇薇

[摘 要]本节复习课首先通过一题多解创建出框架图，梳理知识体系.然后由新定义问题及课本改编问题入手，经过充分变式，夯实学生四基，发展学生四能.复习课教学一定要跳出“题海”挖“题井”，抓住本质促升华，让学生体会到俯瞰大地、一览众山小的感觉，从而喜欢上复习课.

复习教学的目的是建构知识体系，深化知识的理解与应用，实现数学思维与能力的提升.如何在复习中建构知识体系 如何通过复习内化知识，实现数学思维与能力的提升 在海曙区教研活动中，笔者展示了《圆的基本性质》复习观摩课，进行了一次复习教学探索.现将课堂教学实录及对教学设计的思考整理如下.

一、教学目标

1.经历问题一的解决过程，建构圆的基本性质知识体系;

2.运用圆的基本性质解决相关问题，掌握圆的基本性质;

3.经历问题二及变式的探究，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，感悟数学思想，积累活动经验.

二、教学过程

1.演绎思维：利用圆的特殊性质引入

教师出示一个圆形纸片，让学生找出圆心.

生1：两次对折后，交点即为圆心.

教师：为什么呢

生1：圆是轴对称图形.两条对称轴的交点就是圆形.

教师：两条折痕夹角所对的弧相等，说明了圆的旋转不变性，这就是上课的主要内容.（板书：圆的基本性质——轴对称性、旋转不变性）

2.发散思维：方法多样性和结论确定，复习图的基本性质

图1 问题一：如图1，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，D为BC 上的一点，且OD∥AC.求证：CD=BD.

生2：连接OC，∵AC∥OD，∴∠A=∠BOD，∠ACO=∠COD. ∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=∠DOB，∴CD=BD.

教师：这个做法用到了本章中哪些知识点

生2：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等.（教师板书：圆心角相等、弦相等）

教师：很好，要证明弦相等，可以转化为证明这两条弦所对的圆心角相等.还有其他方法吗

图2 生3：如图2，连接AD，AC∥OD，OA=OD，∴∠CAD=∠ODA=∠OAD，∴CD=BD，∴CD=BD.我运用了“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等;在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等”.（教师板书：圆周角相等、弧相等）

图3 生4：如图3，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°. ∵AC∥OD，∴BC⊥OD.由垂径定理可以得到 CD =BD，∴CD=BD.我所用的知识点：直径所对的圆周角为90°;垂直于弦的直径平分弦所对的弧，相等的弧所对的弦相等.（教师板书：直径垂直弦、直径平分弧、直径平分非直径弦）

图4 生5：如图4，延长DO交⊙O于点E，连接AE. ∵AC∥OD，∴AE=CD，∴AE=CD，∵∠AOE=∠BOD， ∴AE=BD，∴CD=BD.我所用的知识点为“在同圆或等圆中， 平行线所夹的弧相等，相等的圆心角所对弧相等，相等的弧 所对的弦相等”.

图5 教师：大家太棒了！刚才你们运用的这些定理，它们的逆命题是否成立 还可以得到哪些结论来引导完善以下框架图 （学生先独立思考，然后小组共同分享）

教师：好了，我们从圆的弦、弧、圆心角、圆周角入手梳理了圆的相关知识，同时对解决问题的方法也有了进一步的体验.下面让我们继续探究.

3.合理联想：实现问题的转化

问题二：如果圆的两条弦相交且弦心距相等，我们把这两条弦叫做和谐弦.如图6，如果AB、CD为和谐弦且相交于E点，你能得到哪些结论，请说明理由.

图6 生（众）：AB=CD，AE=ED，CE=EB.

教师：O在∠AED的角平分线上，你们有什么发现

生6（马上举手）：AC=BD，其实刚才的结论，都是因为这个图形是以直线OE为对称轴的轴对称图形.

教师：生6利用了圆的轴对称性快速地得到了结论，我们平时在考虑圆的问题时可以多从它的轴对称性和旋转不变性出发.

4.拓展思维：提升问题的层次

图7

图8 教师：如图7，已知M点坐标（1，1），半径为10，⊙M与坐标轴交于A、B、C、D点.线段AC、BD是和谐弦吗

生7：是的，点M到AC、BD的距离都等于1.

变式：如图8，已知M点坐标（1，1），半径为10，⊙M与坐标轴交于A、B、C、D点.

（1）若E、G是BAD上的两点，F、H是x轴上两点，且四边形 EFGH为正方形，求它的边长.

教师巡视，发现很多学生遇到了困难.

教师：正方形中哪条边最特殊

生（众）：EG，它是⊙M的弦.

教师：很好！求弦长常用的基本图形是什么呢

生8：弦、弦心距、半径、弓形高，知其二，必能求另两个量，或知其一，就可以设未知数建立方程.

大部分学生恍然大悟，开始奋笔疾书.

教师请生8板演，过程如下.

解：过M作MN⊥EG于N，连结MG.设EF=x，则NM=x-1，根据垂径定理易得NG=0.5x，∵MG2=MN2+NG2，∴10=（x-1）2+（0.5x）2，解得x1=-2（舍去），x2=3.6，∴边长为3.6.

教师：其实这道题，老师是从书本96页的例题改编而来，原题是求圆内接正方形的边长，经过改编后变成利用方程思想解决圆中半径、半弦、弦心距所构造的直角三角形问题.（板书：设元构建方程模型）

（2）若在圆M与两坐标轴的正半轴所围成的区域中裁剪一个最大的正方形，你能求出正方形的边长吗

生9：这道题目要分两种情况讨论.

图9 情况1（如图9）：当正方形只有一个顶点落在圆周上时，由和谐弦性质可知E、M、O三点共线，所以连结OE，M必在OE上，所以OE=OM+ME=10+2，所以正方形边长为5+1.

图10 情况2（如图10）：能够画出草图，但是求不出边长.

教师：考虑问题很全面.怎么来求呢 还是需要来构造基本图形.过F点作FQ⊥AE，过G点作GP⊥OH，这是很典型的“一线三角”模型，很快可以得到△QEF≌△OEH≌△PGH，从而推出OQ=OP.连结MF、MG，过M作MS⊥FQ，交FQ于S点，作MT⊥GP，交GP于T点.∴MS=MT，又∵MF=MG，∴Rt△MTG≌Rt△MSF，∴SF=GT， ∴FA=GD=AE=DH=OH=OE.

设OH=a，MT=2a-1，GT=a-1，GM=10，根据MT2+GT2=MG2得（2a-1）2+（a-1）2=10，解得a=2，∴GH=22.

教师：情况1和情况2有一个共同特征，就是这两个正方形都关于直线OM成轴对称.对于情况2要解决这个问题的关键是找到OE=OH.其实，凡是内接正方形的区域是以直线y=x为对称轴的轴对称图形都具有这个特征.我们学过的哪些图像具有这样的特性

生10：反比例函数和直线y=-x+a与坐标轴围成区域也应该具备这个性质.

教师：是的，你对函数图像的性质进行了正确的理解.两种情况的正方形边长已经准确求出.

5.回顾总结，提升思想

波利亚曾言：“假如你想要从解题中得到最大的收获，你就应当在所做的题目中去找出它的特征，那些特征在你以后去求解其他问题时，能起到指引作用.”在课堂结尾，教师鼓励学生畅所欲言，总结本节课针对知识内容所采用的数学思想和方法，并交流学习的收获与体会，在此基础上教师要发挥引路人的作用，适时点睛，完善体系，帮助学生将所学数学思想纳入自己的思维之中，培养学生的数学思维能力.

三、教学思考

圆的基本性质是初中几何领域的重要内容.知识点多，方法灵活性大，与其他几何图形联系紧密.如何通过复习课，实现学生数学思维与能力的提升是数学教师应该思考的问题.笔者对本节课的教学设计进行了如下思考.

1.一题多解引起思维碰撞、内化认知理解、建构知识体系

开门见山法在建构知识体系时相对比较单调、空洞，在知识点不多的情况下还适用，而对于本节课知识点众多的情况则是下策.题组练习法是以题为载体，让复习回顾更加有抓手.但题组练习法更多是教师的预设，是教师引领下的学生被动建构知识系统，这样的方法也非最佳.合理的问题能帮助学生回顾相关知识，并对相关知识进行再加工，形成新的理解，使学生能在选择知识解决问题中进一步认识数学知识的基本应用结构，促进从知识到技能的转化和数学思想方法的初步体会.本课以一个“问题”为载体，通过这个问题的多种方法解决，展现了不同学生的思维，引起了学生的思维碰撞，加深了学生对知识的理解，同时自然引出了圆心角定理、圆周角定理、垂径定理等本章的核心知识，建构出圆的基本性质的知识结构，起到事半功倍的教学效果.在教学中教师的核心任务是创设让学生回顾整理、加工知识的平台，在学生遇到困难时给予及时的引导和帮助.这样的教学设计既体现了教师的主导性，又彰显了以学生为中心的教学理念.

2.层次性、开放性问题激发学习热情、促进四能发展，积累活动经验

巩固知识、发展思维、提高能力是复习教学的主要目标.实现这些目标的关键是选取合适的问题载体.教师选择和设计的题要有启发性、灵活性、综合性，能发挥以点带面的作用.本节课的问题二以一个简单的基本图形引题，设计通过问题串与变式教学，逐层推进，提倡多角度、多策略解决问题.在合作交流中让学生学会倾听和优选，通过开放性问题的设计鼓励学生提问，特别注重让学生体验并尝试如何提出问题，展现不同学生的不同思维，让学习层次不同的学生得到发展，达到巩固知识、挖掘问题的内涵与外延的目的，激发学生的学习热情与探究欲望，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力，并使学生通过这个过程，积累活动经验.

总之，新课标下的初中数学教师在复习课教学中，应从题海战术中解脱出来，抓住学生主体的特性，紧扣教学纲要，注重知识的梳理归纳，实施典型问题教学，打造思维课堂，让学生在复习过程中体会到俯瞰大地、一览众山小的感觉，喜欢上复习课.这就是我们上复习课努力的方向.