有机渗透 螺旋上升

陈超

[摘 要]以例题为教学平台，将基本的数学思想方法落实于数学教学中非常重要.基于此，进行一道例题教学及对其引发的效应中三个典型问题进行回顾、反思，并总结了对数学思想方法的教学感悟.

[关键词]例题 方程思想 数学思想方法

“数学思想方法是数学知识内容的精髓和灵魂，是对数学本质的认识，是数学学习的一种指导思想和普遍适用的方法，它是把数学知识的学习和能力培养有机地联系起来，提高个体思维品质和数学能力，从而发展智力的关键所在;也是培养创新人才的基础;更是一个人数学素养的重要内涵之一.”笔者就从一道课本几何例题的教学开始，谈谈数学基本思想方法教学的感悟.

一、例题

已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大30°，求∠α、∠β的度数.

解法1：（略）.

解法2：设∠α=x，则∠β=x+30°.

根据题意，可列方程，得x+（x+30°）=180°.

解方程得x=75°.

所以∠α=75°，∠β=75°+30°=105°.

评注：此例来源于苏教版课标教材七年级上册《6.3余角、补角、对顶角》.本节课教学之前，学生已经学习了一元一次方程，认识到方程是刻画实际问题中数量相等关系的一种数学模型，经历了用一元一次方程解决问题，体会了方程思想的应用价值.解法1是教材提供的解法（意在新知应用和几何推理表达的培养）;解法2是笔者在课堂上示范的方程思想应用，在呈现两种方法后，引导学生比较两种方法的异同，让学生体会数学思想方法的优越性.

二、例题效应

1.效应1——一份惊喜

“如右图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=22°，求∠AOB的度数.”

解法1：（略）.

解法2：设∠AOC=x，则∠BOC=2x，∠AOB=3x.

因为OD平分∠AOB，

所以∠AOD=12∠AOB=32x.

所以32x-x=22°.

所以x=44°.

所以∠AOB=3×44°=132°.

评注：本题是第6章《平面图形的认识（一）》复习中的一道习题，对学生有一定的挑战性.令人没有想到的是在没有提示的情况下，竟有20%以上的学生想到采用“解法2”的方程模型，设∠AOC为x，列方程求解.可见在课堂例题教学中渗透、示范的方程模型解决几何问题之后，学生对方程思想的认识已经有了一点点的变化.笔者讲评此题时，向全体学生推荐了“解法2”，学生的脸上露出了惊喜的表情.由此可见，例题教学对数学基本思想的落实起了一个有效的示范的作用.

2.效应2——一点意外

“在△ABC中，根据下列条件，求∠A的度数：（1）∠C=20°，∠B=∠A;（2）∠A、∠B、∠C的度数之比为1∶2∶3.”

评注：这是第7章《平面图形的认识（二）》习题中的第1题，也是新课之后的一次课堂作业.学生作业反馈：第（2）问有两类解法：算术法和方程模型.统计结果显示，笔者所教的班级有70%以上的学生采用了方程模型，不到30%的学生采用了算术法，而另一位教师所教的班级没有一个学生采用方程模型，学生采用的都是算术方法，这一点真的让笔者有点意外.意外之余，不禁体会到“师傅领进门，修行靠个人”的含义.

3.效应3——一分收获

“一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数.”

解法1：360°×4+180°=1620°.

1620°÷180°=9.

9+2=11.

答：这个多边形的边数是11，内角和度数是1620°.

解法2：设这个多边形的边数是n，则内角和为（n-2）·180°.

根据题意，得（n-2）·180°=360°×4+180°.

解这个方程，得n=11.

（11-2）×180°=1620°.

答：这个多边形的边数是11，内角和度数是1620°.

评注：这是第7章《平面图形的认识（二）》复习课中