以“问题”为驱动的高中函数概念课教学设计

黄宁静 朱维宗

[摘 要]在学习数学课程论、教学论、学习论及数学教学设计相关知识的基础上，设计了一节高中数学函数概念课.人教版中的三个实例对学生来说不易理解，这节课选用苏教版教材中的三个实例，让学生容易理解.整节课以“问题”为驱动，带动学生思考，使函数概念的形成显得自然，进而使学生易于理解，增强学习数学的信心.

[关键词]问题 高中数学 函数概念 教学设计

本节课选用苏教版的三个实例，并采用引导发现的教学方法，以“问题”为驱动，一环紧扣一环，带动学生自主思考，发现三个实例的共同属性，从而抽象概括出函数的本质属性，自主建构函数的概念.实例中问题的设置能够使抽象的函数概念变得具体化，进而降低学生理解的难度，增强其学习数学的信心.

一、教材分析

本节课是普通高中课程标准实验教科书必修（Ⅰ）第一章第二节的内容，《数学课程标准》对函数概念教学的要求是：通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.函数这章在高中数学中起着承上启下的作用，而本节是函数这章的开篇课，可为以后的学习奠定基础.

二、学情分析

一方面，学生虽然学习了用变量定义的函数，但是涉及函数本质的内容，却还没完全掌握.依据思维发展的年龄阶段理论，高一学生虽然能够进行抽象思维，但此时的抽象思维只是基于经验的，理论型抽象思维还比较弱，要想从函数实例中抽象概括出函数概念还存在困难;另一方面，经过一个假期的休整，学生处于完全放松的状态，对于还没做出充分的学习准备的学生，函数概念的抽象性难免会影响的学习积极性.

通过教材及学情分析，把教材知识内容分为两节课教学：函数概念、定义域和值域的求解.本节课为函数概念教学（新授课）.基于函数概念的高度抽象性、严谨性和概括性的特点以及学生的学习特征和原有的数学认知结构，选择概念形成的教学模式，采用引导发现教学法.

三、目标分析

知识与技能：能说出函数的概念及写出函数的符号表示，解释函数符号;在理解函数的基础上，了解构成函数的三要素及对应关系的三种表现形式，能利用函数的概念判断函数.

过程与方法：通过三个实例的分析，参与观察、归纳、概括数学活动过程，渗透类比数学思想，发展抽象思维.

情感、态度与价值观：在概念形成的过程中，感悟数学的严谨性与抽象性，养成善于思考、严谨对待的学习习惯.   四、教学过程

（一）复习回顾

问题：初中函数的概念是什么？

学生：回忆交流.

教师：带领学生重述初中函数概念.

问题：y=1是函数吗？

学生：有些学生说“是”，有些学生说“不是”.

教师：用初中函数的概念不能回答这个问题，通过本节课函数概念的学习再回答这个问题.

设计意图：帮助学生提取已有的知识，为新课学习做好知识储备.通过设置问题“y=1是函数吗”，让学生产生认知冲突，处于“愤”的状态，激发学生的学习兴趣，进而激发学生的学习动机，使学生以最佳状态进入新课学习.

（二）实例分析

【例1】 我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示：

（1）1969年我国的人口数是多少？1978年呢？

（2）表格中每一年的人口数确定吗？

学生回答，教师板书：

（1）1969（年）→807（百万），1979（年）→975（百万）;

（2）每一个数（年份）→数（人口）（唯一的）.

【例2】 一物体从静止开始下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式：y=4.9x2.

（1）若一物体下落1s，你能求出它下落的距离吗？下落2s呢？

（2）下落过程中，每一时刻的下落距离确定吗？

学生回答，教师板书：

（1）1（s）→4.9（m），2（s）→9.8（m）;

（2）每一个x（s）→y（m）（唯一的）.

【例3】 下图为某市一天24小时的气温变化图.

图1

（1）上午7时的气温是多少？14时呢？

（2）这一天中的每一个时刻的气温确定吗？如何根据此图像找到？

学生回答，教师板书：

（1）7（h）→0（℃），14（h）→9℃;

（2）每一个T（h）→θ（℃）（唯一的）.

问题：你能发现这三个实例有什么共同点吗？

学生：每一个…都有唯一的…与…对应.

教师：我们用集合的观点看实例.

例1中的对应关系、例2中的对应关系和例3中的对应关系分别如图2、图3、图4.

图2   图3     图4

问题：你能用数学语言表述共同点吗？

学生：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应.

教师：你能概括函数的概念吗？

设计意图：因为《普通高中课程标准》要求教师能够创造性地使用教材，故而这里选用苏教版教材的三个实例.通过带领学生分析并解决实例中紧扣函数要素的问题以及运用符号语言把函数概念的本质清晰地呈现在黑板上的过程，让学生理解函数的本质，使其处于“悱”的状态.教师及时采用启发式提问，降低抽象概括的难度，把难以接受的学术形态转化为学生易于理解的教育形态，从而为学生主动建构函数概念做好铺垫.

（三）函数概念的形成

教师复述函数的概念并板书：

f：A→B

y=f（x），x∈A.

教师引导并板书：构成函数的三要素为定义域、对应关系和值域.

教师：你能回答y=1是函数吗？

学生：有些说“是”，有些说“不是”.

教师板书演示作图：集合A、B是实数集，每一个x都有唯一确定的y=1和它对应.

设计意图：概念包括内涵与外延.在理解函数内涵的同时，运用符号语言表示函数，增强学生的符号意识，欣赏符号的简洁美，同时感受符号所蕴含的丰富知识，进一步培养学生的抽象思维能力.在解决课前问题的同时，把新的数学认知结构纳入原有的数学认知结构，在原有的知识储存中加入常值函数，扩大并改组原有的认知结构，让学生全新理解函数的内涵与外延，感受初中与高中函数概念的区别.

（四）牛刀小试

练习1：下列哪些对应是函数，哪些不是，为什么？

（1） （2）    （3）    （4） 学生：（1）（2）是函数，（3）（4）不是函数，判断依据是函数的定义.

教师：答案为是，是;否，否.

问题：例2中的对应法则是什么？

学生：y=4.9x2.

教师：练习1中（1）的对应法则是什么？

学生：y=2x.

教师：实例1和3中的对应法则是什么？

学生回答不出，有的说没有对应法则，有的说没有规律！

教师：集合A和集合B中的值是怎么对应（建立联系）的？

学生：表格、图像.

教师板书：对应法则有表格、解析式、图像.

练习2：判断下列图像能表示函数图像的是（  ）.

教师：D.

练习3：看下面几个例子，说出y是否为x的函数.（x，y都是实数）

（1）y2=x;（2）y=x2;（3）y=|x|;（4）y=x.

学生：练习并回答.

教师：否;是;是;是.

设计意图：斯金纳教学原则中的强化原则是要求在学习新知识的基础上，进行强化训练，使学生熟练掌握函数的概念.在强化的同时利用习题让学生很直观、形象地了解函数的三要素并理解函数的三要素.

（五）课堂小结及布置作业

教师引导学生回顾本节课的知识点：（1）函数的概念;（2）构成函数的三要素.

作业：课后1、3题及教辅上的题.

设计意图：函数的概念是比较抽象的知识，采用教师为主导的课堂结束方式，利于学生把握本节课的重难点，为课后学习指导方向.

“问题”是数学的心脏，数学的真正部分就是问题和解答.教师的职责是引导学生发现问题并且解决问题，在发现和解决问题的过程中让学生的思维得到发展.课本只是知识点的一个承载体，不是知识具体的形成过程，这就需要教师对知识点进行加工、处理，形成符合学生认知水平且易于接受的知识.