用心捕捉动态信息着力提升思维品质
2015-05-29王丽君
王丽君
课堂教学过程是师生、生生有效互动，动态生成的过程.教学过程中会产生一些意料之外的，有意或无意的，正确或错误的信息，教师应抓住有利时机，因势利导，让课堂充满成功的喜悦，让学生得到更好的发展.
一、捕捉错误信息 提升辨析能力
心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻.”学生会在不断地纠错过程中，获得新知，提高能力，增进体验.所以说教学中的“错误”是一种重要的课程资源.善于挖掘并运用“错误”将会给课堂带来活力，捕捉学生学习过程中出现的错误，发现错误背后隐藏的教学价值同样也是教师教学智慧的体现.
案例1：若关于x的不等式a≤x2-x+≤b的解集为[a，b]，求a+b的值.这是笔者在高三复习课上所选用的一道例题，当时有部分学生给出了如下解答.
解：设f（x）=x2-x+，则f（x）=（x-1）2+1≥1，所以a≥1，f（x）在[a，b]上是单调递增函数. 所以f（a）=a，
f（b）=b，即a，b为方程x2-x+1=x的两根，所以a+b=5.
这个“完美”解答却是彻彻底底的“张冠李戴”.追根究底发现其中包括了：（1）心理性错误. 学生已有的函数定义域和值域概念以及由此产生的思维定式：已知函数的定义域就是求值域；（2）知识性错误. 将“不等式a≤y≤b”与“函数的值域为[a，b]”这两个概念等同起来；（3）逻辑性错误. 视命题“已知a≤f（x）≤b时，有a≤x≤b成立”与命题“已知a≤x≤b时有a≤f（x）≤b成立”为等价命题.
实际上，知识性错误、逻辑性错误以及心理性错误是常见的错误类型.其中知识性错误包括概念模糊、忽视条件、忽视特例等；逻辑性错误包括转换论题、循环论证、不等价辨析、以偏概全、分类不当等；心理性错误包括存在错觉定式、心理品质不良等.只有在深刻剖析错误成因之后，才能有效避免错误，纠错教学才是有效的.
二、捕捉质疑信息 开拓思维能力
在课堂教学中，学生质疑是由于新旧经验间的矛盾冲突，这反映出学生正在积极思考，是珍贵的课堂动态资源.因此，教师要关注从学生中产生的质疑资源.不仅要“接住学生抛过来的球”，而且能随机调整思路，经过激励点拨，再把“球抛给学生”.
案例2：方程log4（4x+1）-x=log4（a·2x-a）有且只有一个根，求实数a的范围.
解法一：原方程有且只有一个根等价于方程=a（2x-1）有唯一解. 即等价于4x+1=a·4x-a·2x有唯一解. 令t=2x，则方程（1-a）t2+at+1=0在（0，+∞）内只有唯一一个正数根.
等价于Δ=a2-4（1-a）=0，
>0，或a2-4（1-a）>0，
<0，
可得a=-2-2，或a>1.
质疑1：为什么要转化为一元二次方程？
翻开数学历史的画卷，我们发现，如果不借助计算机，我们对三次方程的研究是何其艰辛.查看我们高中数学有关方程的教学要求，即熟练掌握一元二次方程的解法，了解简单的指数，对数方程的解法.因此一元二次方程才是根本.因而抓住命题中“方程”两字，进行转化是水到渠成的事情.
质疑2：方程根问题的实质是研究图象与x轴交点问题.是否可以在4x+1=a·4x-a·2x的基础上，令t=2x，考虑t2+1=a（t2-t）与t轴只有一个交点？
解法二：由t2+1=a（t2-t）只有一个解，可得函数y=t2+1与函数y=a（t2-t）图象当t>0时只有一个交点，因为当a=1时，两个抛物线的形状一样，所以当a>1时，如图1，y=a（t2-t）的递增速度比y=t2+1的速度快，于是会有一个交点.当a<0时，如图2，由两抛物线相切可得a=-2-2.
说明：以上解法涉及到曲线相切的定义，即两曲线在切点处有相同的函数值以及导数值，此定义在高中是不作要求的，因此曲线相切的方法有一定的局限性，不过为了拓展学生的思维，也可鼓励学生上网查阅有关曲线相切的定义及方法.同时涉及到递增级数问题，作为拓展学生的极端思想也是一道不错的训练题.
解法三：由t2+1=a（t2-t），可得t+=a（t-1），则图象y=t+=a（t>0）与y=a（t-1）（t>0）有唯一的交点，直线y=t，t=0是y=t+=a（t>0）的两条渐近线，则a=-2-2或a>1.
质疑3：为什么不采用常规的变量分离？
解法四：由=a（2x-1），可得a=，令t=2x，可得g（t）=（t>0），由g′（t）==0，可得t=-1. 当0
说明：当t→+∞时，g（t）→1，对高中生比较难以表达清楚，这是大学数学中的洛必达法则. 因此不是方法不行，只是知识还没有完备，因此我们选择了其他方法.有兴趣的同学可以去网上查查有关资料.
质疑4：类似于解法四的处理方法，a=，t=2x，可得a==1+，令s=t+1，则a=1+=1+，但由于函数y=的图象不好处理，所以又是一个半成品.
解法五：=s+-3（s>1），所以=2-3，或者≥0，所以a=-2-2，或a>1.
反思回顾：各种方法虽然各有不同，但相同的是都转化为两个图象有唯一交点.其实只要两个函数各自的图象性质清楚，两图象之间的关系清楚，怎么变形都可以.所有的解题败笔，都有自己的闪亮点，也是学生认知的难点，仔细处理解题过程中的半成品，对我们建构合理的知识结构，梳理知识的条理性，树立学生的自信心都是有帮助的.
案例3：等比数列求和公式推导过程.
当q≠1时，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，等式两边同乘以q可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn，两式相减，可得Sn=.
质疑：为什么两边要乘以q，不乘以q可以吗？
方法一：由Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn-a1qn=a1+qSn-a1qn可得.
方法二：由==…=，可得==…=，所以==q-1，=q-1（古希腊欧几里得《几何原本》第九卷题35）[1]
方法三：由===…=，可得=q，所以=q.
由此可见，乘以q仅是一种运算技巧，不乘以q的方法更巧妙.
三、捕捉意外信息 培养创新能力
在丰富而千变万化的课堂情境教学中，常会有许多“小意外”，面对课堂上意想不到的“小插曲”，教师要有“不管风吹浪打，胜似闲庭信步”的大将风范.要用理智驾驭情感，要学会随机应变.要用智慧捕捉稍纵即逝的教学资源.投学生之所好，以便达到水到渠成之功效，使之成为课堂的亮点.
案例4：在教数学归纳法这节课时，我让学生准备20来块多米诺骨牌，然后提问如何将所有的多米诺骨牌推倒.预设引导学生回答只要满足（1）将第一块骨牌推倒；（2）每一块骨牌都能碰到后一块骨牌，则所有的骨牌都能推倒.从而能得到关于自然数命题的证明方法——数学归纳法. 设p（x）是关于自然数的命题，若①（奠基）p（1）成立；②（归纳）假设p（k）成立可以推出p（k+1）成立，则p（k）是对一切自然数n均成立.但是课堂上学生的表现出乎意料，一个顽皮的学生说，“像打水漂一样的，只要1能够得着3，3能够得着5，……，同时2能够得着4，4能够得着6……就行了.”这实际上是跳跃式数学归纳法的雏形.当时我马上想起以前一位学生的话——“数学归纳法没有一点生命活力，我最讨厌学这个”.怎样让数学归纳法“活”起来？怎样让学生有兴趣学？这是否是一个契机呢？于是我针对以上想法把这类数学归纳法作了简单的介绍，学生学习的兴趣立即提上来了，原来数学归纳法是这样玩出来的.于是更多更奇特的想法如雨后春笋般冒出来，我也不急于去阻止，只是告诉他们，他们的想法中还有很多是我们数学归纳法的雏形，引导学生课后上网查资料，让学生去了解双重数学归纳法、跷跷板数学归纳法、反向数学归纳法的类型，让数学归纳法充满活力.
总之，课堂教学是动态生成的过程，是师生共同成长的过程.走进学生内心和学生一起成长是教师的责任，教师要从学情出发，用锐眼捕捉契机，善于利用，并按照需要随时做出有创意的教学调整，使课堂在动态过程中生成亮点，闪耀精彩，演绎高潮迭起的数学课堂，让学生真正成为教学的主体，让学生的思维空间得以拓展，思维品质得以提升.
参考文献：
[1] 汪晓勤.中学数学中的数学史[M].北京：科学出版社，2002.
